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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2778 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 11:15: |
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Hi allerseits, Die Aufgabe LF 56 lautet: Man beweise für natürliche Zahlen n die Ungleichung { sum 1 / k } ^ 2 < 1/2 Der Summationsindex k läuft von n+1 bis 2 n. Hinweis: Benütze die Cauchy –Schwarzsche Ungleichung Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2796 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 12:51: |
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Hi allerseits Die vorliegende Aufgabe LF 56 ist etwas schwieriger zu lösen als ihre Vorgängerin LF 55. Im Sinne eine Ebnung des Terrains nehmen wir einen Hilfssatz zu Hilfe (nomen est omen!). Dieser lautet. 1 / (n+1)^2 + 1 / (n +2)^2 +…. + 1/(2n)^2 < 1 / (2n), gültig für n = 1,2,3,…. Dies lässt sich so oder so beweisen, ist jedoch eine andere Geschichte. Mit der Cauchy –Schwarzschen Ungleichung entsteht: [1/(n+1) + 1/(n+2) +…. + 1/(2n)]^2 = [1*1/(n+1) +1* 1/(n+2)^1 +…. +1* 1/(2n)] * [1*1/(n+1) +1* 1/(n+2)^1 +…. +1* 1/(2n)] < [1^2+1^2 …+1^2]*[1/(n+1)^2+1/(n +2)^2 +….+1/(2n)^2] < n * [1/ (2n) ] = 1/2 , qed. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 654 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 15:51: |
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Hallo megamath, Variante mit Verschärfgung : Es sei S(n) := S2n k=n+11/k. Behauptung : S(n) < ln 2, und dies ist die bestmögliche Abschätzung. Beweis: Man rechnet nach, dass S(n) = S(n-1) + 1/(2n-1) - 1/2n Wegen S(1)=1/2 ist also S(n) = Sn k=11/(2k-1) - Sn k=11/2n =S2n k=1(-1)k+1/k Offenbar ist S(n) monoton wachsend, daher gilt S(n) < lim S(n)= S¥ k=1(-1)k+1/k = ln 2.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2800 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 15:57: |
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Hi Orion, Besten Dank! Mit S(n) habe ich auch ausgiebig laboriert ! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2802 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 19:47: |
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Hi Orion, Mich beschäftigt die Summe der Reziproken der Quadratzahlen für k = n+1 bis k =2n Ich komme später darauf zurück. MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1682 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 21:45: |
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Hi megamath, ist zwar schon lange her, aber ich wäre an einer Herleitung deiner Ungleichung für die Summe der reziproken Quadratzahlen von n+1 bis 2n interessiert! Das brauche ich nämlich um zu beweisen, das die Summe der reziproken der Quadratzahlen von 1 bis n nach Cauchy konvergiert! Mir fehlt jetzt halt nur die Abschätzung, oder einen Beweis/Herleitung dieser hier, die würde nämlich gut passen mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4621 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. November, 2004 - 15:56: |
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Hi Ferdi Wir möchten zeigen, dass die unendliche Reihe sum [1/r^p], Summationsindex r = 1 …inf. für p >1 konvergiert, für 0<p<=1 divergiert. Versuchen wir es einmal so: Wir setzen ao = 1 / 1^p; a1 = 1 / 2^p + 1 / 3^p a2 = 1 / 4^p + 1 / 5^p + 1 / 6^p + 1/ 7^p mit 2^r = s also ar = 1/ s^p +1/(s +1)^p + 1 /(s +2)^p +…+1/[2^(r+1) -1]^p ferner: bo = 1 / 1^p; b1 = 1 / 2^p b2 = 1 / 3^p + 1 / 4^p b3 = 1 /5^p + 1 /6^p + 1/7^p + 1/8^p mit 2^r = t also br = 1 /(t+1)^p + 1 /(t +2)^p +1 /(t +3)^p …+1/[2^r]^p Zeige nun: an > 2^n * 1 / [2^(n+1)] ^ p = q ^ n / 2 ^ p bn < 2^(n-1)* 1 / [2^(n-1)] ^ p = q^(n-1). wobei q = 1 / [(2^(p-1)] gilt. rechts steht das allgemeine Glied einer unendlichen geometrischen Reihe mit dem Quotienten q. Diese Reihen können als Minoraten bzw. Majoranten benützt werden, um die Divergenz bzw. die Konvergenz der gegebenen Reihe nachzuweisen. NB Konvergenz der q-Reihen:q < 1 dies ist der Fall für p > 1 Divergenz der q-Reihen: q > = 1 also für p <= 1 Bitte Toppfehler (!) suchen und finden! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 920 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. November, 2004 - 16:00: |
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Hallo, Für i=2,...,n ist n+i > n+1 => 1/(n+i)2 < 1/(n+1)2 => Sn i=1 1/(n+i)2 < n/(n+1)2 ® 0. War es so gemeint ? mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1683 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. November, 2004 - 23:16: |
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Hi megamath & Orion, besten Dank! Genau das hab ich gesucht! Jetzt hat es geklappt! mfg |