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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2776
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 14:03: | 
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Hi allerseits,
Die Aufgabe LF 55 lautet:
Man beweise die Ungleichung
{ sum 1 / k }^2 < 2 n
Der Summationsindex k läuft von 1 bis n.
Hinweis:
Benütze die Cauchy –Schwarzsche Ungleichung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Captain_sparrow (Captain_sparrow)
Neues Mitglied
Benutzername: Captain_sparrow
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:16: |
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Cauchy-Schwarz:
|Sn k=1ak*bk| <= (Sn k=1|ak|^2)^(1/2)*(Sn k=1|bk|^2)^(1/2)
für ak,bk aus R und n aus N.
Wir setzen jetzt ak=1/k und bk=1.
Damit ergibt sich (ohne Betrag weil alles positiv ist):
(Sn k=1(1/k)*1)<=(Sn k=1(1/k)^2)^(1/2)*(Sn k=1(1)^2)^(1/2)
=> (Sn k=1(1/k)*1)^2 <= (Sn k=1(1/k)^2)*(Sn k=1(1)^2) (da alle Faktoren >0)
<=> (Sn k=1(1/k)*1)^2 <= (Sn k=1(1/(k^2)))*(n)
Da man weiß, dass Sn k=1(1/(k^2)) monoton ist und gegen pi^2/6(ungefähr =1,6) konvergiert, so folgt:
(Sn k=1(1/k))^2 <= (1,6)*(n) <= 2*n
Und schon sind wir fertig |
Captain_sparrow (Captain_sparrow)
Neues Mitglied
Benutzername: Captain_sparrow
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:20: |
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kleiner Fehler, natürlich ist das <= (1,6)*(n) falsch weil pi^2/6 natürlich 1,6449... ist, man sollte also entweder 1,7 oder direkt 2 oder vielleicht doch (pi^2)/6 schreiben.
Jack Sparrow |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2784
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:56: |
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Hi Jack,
Deine Lösung entspricht genau meinen Intentionen.
Am Schluss hat man noch Spielraum.
Hauptsache,dass wir ihn richtig nützen.
Danke
MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 652
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 14:47: |
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Hallo:
Elementare Variante (falls jemand Cauchy-Schwarz (noch) nicht kennt): Induktion !
Sei Sn k=11/k =: H(n).
H(1)2 =1 < 2.
Für irgendein n gelte H(n) < sqrt(2n) . Dann ist
H(n+1) = H(n)+1/(n+1) < sqrt(2n)+1/(n+1).
Ann.: sqrt(2n)+1/(n+1) > sqrt(2(n+1))
<=> 1/(n+1) >= sqrt(2)[sqrt(n+1)-sqrt(n)]
=sqrt(2)/(sqrt(n)+sqrt(n+1)) > sqrt(2)/2*sqrt(n+1)
<=> n<1 : Widerspruch !
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2786
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 16:56: |
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Hi Orion,
Besten Dank für Deine Lösung!
Es ist vom methodischen Standpunkt aus zu begrüßen,
wenn eine Aufgabe auf mehrere Arten gelöst wird.
Besonders auch dann, wenn die andere Methode mit
„elementaren“ Mitteln auskommt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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