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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2775
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 13:52: | 
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Hi allerseits,
Die Aufgabe LF 54 lautet:
Man beweise die Ungleichung
(1+p1)(1+p2)(1+p3)…...(1+pn)>=1+p1+p2+p3+……+pn
a) unter der Voraussetzung, dass alle pj >= 0
b) unter der Voraussetzung, dass für alle xj gilt :
-1 <= p j <= 0
Hinweis: vollständige Induktion
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Captain_sparrow (Captain_sparrow)
Neues Mitglied
Benutzername: Captain_sparrow
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 10:47: |
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Ersteinmal habe ich ein kleines Verständnisproblem:
Was meinst du mit "-1 <= p j <= 0" ?
Soll das (-1) <= pj <= 0 heißen? Dann wäre ja 0<=pj<=0 (mit a) und pj=0, oder soll das pj zwischen 0 und 1 liegen?
Ich ignoriere einfach mal b) und lös den rest.
Vollstandige Induktion
IA: n=1
Dann ergibt sich 1+p1>=1+pn sicherlich richtig
IS: n => n+1
Es gelte also a=(1+p1)(1+p2)*...*(1+pn)>=1+p1+p2+...+pn=b
(1+p1)*...*(1+pn)*(1+pn+1)=a*1 + a*pn+1 >= b+ a*pn+1 nach induktionsvoraussetzung
Da aber a>=1 ist, ist dies größer als b+pn+1 und das ist gleich 1+p1+...+pn+pn+1 und damit wären wir fertig.
Kommt mir allerdings recht leicht vor, habe ich irgendwas übersehen? |
Captain_sparrow (Captain_sparrow)
Neues Mitglied
Benutzername: Captain_sparrow
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:53: |
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Die beiden Vorraussetzungen sind verwirrend, soll pj größer als 0 und gleichzeitig zwischen 0 und -1 liegen (also 0 sein)?
wenn man b) ignoriert ist es einfach, denn die linke Seite (nennen wir sie mal a) ergibt für n+1 a*(1+p(n+1)) und somit a+ a*p(n+1) das nach induktionsvoraussetzung größer gleich 1+p1+...+pn + a*p(n+1) i ist, da a>= 1 ist, ist dies größer gleich 1+p1+...+pn+pn+1 und wir haben gezeigt was zu zeigen war (der Ind.Anfang ist trivial).
Jack Sparrow
PS: Ich hatte das schöner aufgeschrieben aber mein PC hat es geschluckt und ich bin zu faul das ganze nochmal zu schreiben ;) |
Captain_sparrow (Captain_sparrow)
Junior Mitglied
Benutzername: Captain_sparrow
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:53: |
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no comment |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2785
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 12:08: |
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HI Jack,
Der erste Teil ist tatsächlich einfach.
Um so eher durfte ich hoffen,dass jemand
sie löst.
Ich komme auf Teil b) später zurück.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 651
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 14:15: |
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Hallo:
Vorschlag:
b) Wenn mindestens eines der pi = -1 ist, so ist
die Ungleichung trivialerweise richtig, da dann die
linke Seite =0, und die rechte Seite £0 ist. Sei
also 1+pi>0 für alle i. Dann können wir die AM/GM-
Ungleichung anwenden :
(1+p1)*...*(1+pn) >= [(n+p1+...+pn)/n]n
=[1+(p1+...+pn)/n]n =: (1+s/n)n
Nach Voraussetzung ist s/n > -1, man kann daher auf den letzten Term die Bernoulli-Ungleichung anwenden und ist fertig. Gleichheit gilt übrigens genau dann,wenn
n=1 oder alle pi=0 sind
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2787
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 17:49: |
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Hi allerseits,
Zu LF 54 b)
Die Aufgabe ist unglücklich formuliert.
b) sollte von a) unabhängig sein!
Auf meinem Manuskript steht noch
die folgende Variante:
Für a1, a2,..,aj,…,an gelte:
0<aj<1 (j=1,…,n)
a1+a2 +…+an <1
Man beweise:
(1+a1)(1+a2)……(1+an) > 1 + (a1+a2+…+an)
(1 -a1)(1- a2)……(1- an) > 1 - (a1+a2+…+an)
Diese Ungleichungen dienen zur Herleitung einer weiteren
Ungleichung, die Weierstrass zugeschrieben wird und die allenfalls
als Aufgabe LF 60 erscheinen wird.
Soviel zur Klärung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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