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Mira13 (Mira13)
Mitglied
Benutzername: Mira13
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 16:28: | 
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Hallo
Kann mir Jemand markante Beispiele aus dem Gebiet
der Kombinatorik (mit Musterlösungen) angeben,
die zum Thema „Stichproben“ gehören,
und zwar je ein Beispiel für
geordnete Stichproben mit und ohne Zurücklegen,
ungeordnete Stichprobe mit und ohne Zurücklegen.
Welches sind die Formeln, die zur Berechnung der
Anzahlen im allgemeinen Fall dienen?
Für Eure Hilfe danke ich im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Mira
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2755
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 17:13: |
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Hi Mira,
Ich greife diejenige Stichprobe heraus, die ich am
ehesten mag.
Das ist die geordnete Stichprobe mit Zurücklegen.
Urnenmodell.
In der Urne liegen n Kugeln mit den Nummern 1 bis n.
Man zieht eine Kugel, notiert ihre Nummer und legt sie
wieder zurück.
Diesen schönen Brauch wiederholt man k mal.
Das ist ein Versuch mit genau k Stufen.
Anzahl der möglichen Ausfälle (k-stellige Sequenzen):
V* (k,n) = n ^ k
°°°°°°°°°°°°°°°°
In der Sprache der Kombinatorik heisst es
„Anzahl der Variationen von n Elementen zur
k-ten Klasse (oder der Länge k)
mit Wiederholungen“.
Man sagt auch:
Man bildet geordnete k-Tupel.
Musterbeispiel:
Der k-fache Wurf eines Würfels.
Modell: der Würfel ist eine Urne mit 6 Kugeln, hihi.
Hier ist n = 6
Somit:
Anzahl z der Ergebnisse.
z = 6 ^ k
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2756
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 17:52: |
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Hi Mira,
Mein zweiter Favorit ist die
geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
Du siehst: ich bin für das Geordnete, das Schlichteen.
Urnenmodell.
In der Urne liegen n Kugeln mit den Nummern 1 bis n.
Man zieht eine Kugel, notiert ihre Nummer und legt sie
NICHT wieder zurück.
Die Notation der Nummern geschieht in der Reihenfolge
ihres Erscheinens.
Diesen schönen Brauch wiederholt man k mal.
Das ist ein Versuch mit genau k Stufen.
Anzahl der möglichen Ausfälle (k-stellige Sequenzen):
V (k,n) = n (n-1)(n-2)….(n – k + 1) = n! / (n – k)!
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Bedingung: k < = n.
In der Sprache der Kombinatorik heisst es
„Anzahl der Variationen von n Elementen zur
k-ten Klasse (oder der Länge k)
OHNE Wiederholung
Musterbeispiel:
Auf wie viele Arten können sich 4 Gäste auf 6 Stühle
setzen ?
Antwort:
Auf 6*5*4*3 Arten
Es gilt n = 6, k = 4
Interpretiere das mit dem Urnenmodell !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2757
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 18:25: |
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Hi Mira,
Wir sprechen nun von der
ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen.
Urnenmodell.
In der Urne liegen n Kugeln mit den Nummern 1 bis n.
Man zieht mit einem EINZIGEN GRIFF k Kugeln.
Die Reihenfolge der so gezogenen Kugeln spielt keine Rolle.
Die Anzahl C(k,n) der Möglichkeiten, dadurch einer Menge
von n Elementen eine k –Teilmenge (Menge mit k Elementen)
auszuwählen ist
C(n,k) =„n über k“ = n! / [ k! (n-k)! ] =
[ n*(n-1)…*(n-k+1)] / [1 * 2 * 3….* k]
Bedingung: k < =
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
In der Sprache der Kombinatorik heisst es
„Anzahl der Kobinationen von n Elementen zur
k-ten Klasse (oder der Länge k)
OHNE Wiederholung
Musterbeispiel:
Auf wie viele Arten kann man aus 9 Personen einen
Dreierausschuss wählen?
Antwort:
Auf 9 über 3 = 9*8*7 / (1*2*3) = 9!/ (3!6!) = 84 Arten
Es gilt n = 9, k = 3
Interpretiere das mit dem Urnenmodell!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2758
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 20:13: |
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Hi Mira,
Motto: MmK
Zum Abschluss unserer Kugeliade sprechen wir von
der ungeordneten Stichprobe MIT Zurücklegen.
Urnenmodell:
In der Urne liegt eine unbegrenzte Zahl von z.B
k = 4 Kulgelsorten m1,m2,m3,m4.
Daraus wird eine ungeordnete Stichprobe von n = 7
Kugeln ausgewählt, genauer: es wird eine Siebener- Stichprobe
mit Zurücklegen gezogen.
Das geht auf C*(k,n)Arten
C*(n,k) =„(n +k - 1) über k“
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
obiges Beispiel:
C*(7,4) = 10 über 4 =….
In der Sprache der Kombinatorik heisst es
„Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur
k-ten Klasse (oder der Länge k)
MIT Wiederholung.
Musterbeispiel:
Auf einem Flohmarkt (FM) werden drei verschiedene Sorten
Glaskugeln m,mm,mmk für 10 € das Dutzend Kugeln
in beliebiger Assortierung verkauft.
Wie viele verschieden Einkäufe bezüglich dieser
Kugeln sind mit 10 € möglich?
Antwort:
(3+12-1) über 12 = 14 über 12 = 14 über 2 = 91
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mira13 (Mira13)
Mitglied
Benutzername: Mira13
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 13:18: |
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Hallo megamath,
Ich Danke Dir für Deine Antworten.
Jetzt ist mir Vieles klar geworden.
So macht Kombinatorik Spass!
MfG
Mira |
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