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Beitrag |
    
Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 14:02: | 
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Hallo,
Erneut werde ich von einer Teleskopaufgabe in
Anspruch genommen und in Atem gehalten.
Diese Probleme erscheinen offenbar in ganz
verschieden Gestalten:
diesmal soll ein Produkt ausdrücklich mit der
Teleskopmethode berechnet werden.
Aufgabe
Mit dem allgemeine Faktor
a(k) = 1 – 2 / [k * (k+1)] bilde man das Produkt
p(n) = a(2)*a(3)*a(4)……….*a(n)
Beweise mit einer geeigneten Teleskopmethode:
p(n) = 1/3 (1 + 2/n).
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar
Mit freundlichen Grüßen
Emil
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2753
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 15:13: |
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Hi Emil,
Ja, diese Methode ist für Produkte nicht sehr üblich;
gleichwohl will ich versuchen, Dir einen Weg zu bahnen.
Es geht um eine geeignete Umformung des allgemeinen
Faktors.
Ich wähle Deine Bezeichnung und schreibe:
a(k) = 1 – 2 / [k * (k+1)] = [ k^2 + k – 2 ] / [k*(k+1]
Die erste eckige Klammer lässt sich in Linearfaktoren
zerlegen,so dass
a(k) = [(k-1)*(k+2)] / [k*(k+1] entsteht
Sieh Dir die Entwicklung des Produkts GENAU an;
sie lautet ausführlich so:
p(n) = [(1*4) / (2*3)] [(2*5) / (3*4)] [(3*6) / (4*5)] ……
{(n-1}*(n+2)}/ {n * (n+1)}
In der letzten Zeile steht der letzte Faktor.
Bei genauem Hinsehen erkennst Du viele einzelne
Faktoren, die sich wegheben, das ist der Teleskopeffekt!
Es bleibt am Anfang und am Schluss etwas übrig!
p(n) = 1/3 * (n+2) / n , q.e.d
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 11:34: |
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Hallo megamath
Herzlichen Dank für Deine umfassende Hilfe!
MfG
Emil |
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