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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 13 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 14:02: |
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Hallo, Erneut werde ich von einer Teleskopaufgabe in Anspruch genommen und in Atem gehalten. Diese Probleme erscheinen offenbar in ganz verschieden Gestalten: diesmal soll ein Produkt ausdrücklich mit der Teleskopmethode berechnet werden. Aufgabe Mit dem allgemeine Faktor a(k) = 1 – 2 / [k * (k+1)] bilde man das Produkt p(n) = a(2)*a(3)*a(4)……….*a(n) Beweise mit einer geeigneten Teleskopmethode: p(n) = 1/3 (1 + 2/n). Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar Mit freundlichen Grüßen Emil
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2753 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 15:13: |
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Hi Emil, Ja, diese Methode ist für Produkte nicht sehr üblich; gleichwohl will ich versuchen, Dir einen Weg zu bahnen. Es geht um eine geeignete Umformung des allgemeinen Faktors. Ich wähle Deine Bezeichnung und schreibe: a(k) = 1 – 2 / [k * (k+1)] = [ k^2 + k – 2 ] / [k*(k+1] Die erste eckige Klammer lässt sich in Linearfaktoren zerlegen,so dass a(k) = [(k-1)*(k+2)] / [k*(k+1] entsteht Sieh Dir die Entwicklung des Produkts GENAU an; sie lautet ausführlich so: p(n) = [(1*4) / (2*3)] [(2*5) / (3*4)] [(3*6) / (4*5)] …… {(n-1}*(n+2)}/ {n * (n+1)} In der letzten Zeile steht der letzte Faktor. Bei genauem Hinsehen erkennst Du viele einzelne Faktoren, die sich wegheben, das ist der Teleskopeffekt! Es bleibt am Anfang und am Schluss etwas übrig! p(n) = 1/3 * (n+2) / n , q.e.d Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 14 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 11:34: |
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Hallo megamath Herzlichen Dank für Deine umfassende Hilfe! MfG Emil |
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