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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2712
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 07:00: | 
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Hi allerseits
Es folgt die Nummer 48 der Lockeren Folge:
Berechne den exakten Wert der Summe der Reihe
mit dem allgemeinen komplexen Glied
an = (n + 1) / [(n +2)(n+3)] * (½ i) ^ n
(der Summationsindex n läuft von 0 ad infinitum)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2716
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 21:16: |
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Hi allerseits,
Im Folgenden soll ein Lösungsweg skizziert werden,
bei welchem möglichst elementare Hilfsmittel verwendet
werden.
Zunächst wollen wir die Summe S* der Reihe
mit dem allgemeinen Glied
an = (n + 1) / [(n +2)(n+3)] * x ^ n
(der Summationsindex n läuft von 0 ad infinitum),
wobei der absolute Betrag von x € R kleiner 1 vorausgesetzt wird.
Damit die benützten Reihen konvergieren, ist diese Voraussetzung
unerlässlich.
Das Zwischenresultat S* lautet mit der Abkürzung
Y = - 1 / x * ln ( 1 – x ) :
S* = Y * ( 2 – x ) / x ^ 2 – 2 / x ^ 2
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Wir benützen drei Hilfsreihen, die für sich allein betrachtet,
auch recht hübsch sind.
Wir bezeichnen sie mit
S1, S2, S3; der Summationsindex läuft jedes Mal von 0 nach unendlich
S1: allgemeines Glied bn
bn = x ^ n / (n +1) ; die Summe ist S1 = Y (!)
S2: allgemeines Glied cn
cn = x ^ n / (n+2) ; die Summe ist S2 = Y/x – 1/x
S3: allgemeines Glied cn
cn = x ^ n / (n+3) ; die Summe ist S3 = Y/x^2 – 1/x^2 – 1/ (2x)
Wie sollen wir beginnen?
Wir zerlegen den Koeffizienten (n + 1) / [(n +2)(n+3)] von x^n
in der gegebenen Reihe in Partialbrüche ;
Resultat:
(n + 1) / [(n +2) (n+3)] = - 1 / (n+2) + 2 / (n+3).
Ich glaube, das ist ein hoffnungsvoller Beginn!
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2717
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 22:33: |
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Hi allerseits,
Wir wollen das lockere Spiel mit den im letzten Abschnitt
eingeführten Reihen munter fortsetzen.
Die Reihen sind die folgenden:
S1: allgemeines Glied bn
bn = x ^ n / (n +1) ; die Summe sei S1
S2: allgemeines Glied cn
cn = x ^ n / (n+2) ; die Summe sei S2
S3: allgemeines Glied cn
cn = x ^ n / (n+3) ; die Summe sei S3
der Summationsindex läuft jedes Mal von 0 nach unendlich.
Als bekannt wird vorausgesetzt : S1 = Y = - 1 / x * ln ( 1 – x );
Das ist leicht nachzuprüfen!
Der Summationsindex läuft und läuft, wie bisher.
Erster Umgang I:
Es geltenl die trivialen Beziehungen:
sum [ x^n / (n+1) ] - sum [ x ^ (n +1) / (n +2) ] = 1…….. .(T1)
sum [ x ^ (n +1) / (n +2) ] = x * sum [ x^n / (n+2) ] …….. (T2),
daher:
S2 =sum [ x^n / (n+2) ] = 1/x * sum [ x ^ (n +1) / (n +2) ] = (nach T1)
1/x * { sum [ x^n / (n+1)] - 1} =
1/x {Y – 1 } =
Y / x – 1 / x
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S2 = Y/x – 1/x, das halten wir fest!
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2719
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 07:54: |
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Hi allerseits,
Zum Abschluss berechnen wir die Summe S3 der dritten
Hilfsreihe sowie die Summe S* der Hauptreihe .
S3: allgemeines Glied cn
cn = x ^ n / (n+3) ; die Summe ist S3
der Summationsindex läuft von 0 nach unendlich.
Als bekannt wird vorausgesetzt: S1 = Y = - 1 / x * ln ( 1 – x )
Zweiter Umgang II:
Es gelten die trivialen Beziehungen:
sum [ x^n / (n+2) ] - sum [ x ^ (n +1) / (n +3) ] = ½ (!)……….(T3)
sum [ x ^ (n +1) / (n +3) ] = x * sum [ x^n / (n+3) ] …………... (T4)
daher:
S3 = sum [ x^n / (n+3) ] = 1/x * sum [x ^ (n +1) / (n +3)] = (nach T3)
1/x * { sum [ x^n / (n+2)] - ½ } = 1/x * { S2 - ½ }
1/x {Y/x – 1/x – ½ } =
Y / x^2 – 1 / x ^2 – 1 / (2x)
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S3 = Y/x^2 – 1/x^2 – 1/(2x) , das halten wir fest!
Schlussbouquet
Wir haben die gegebene Reihe bereits in eine Summe zweier
Einzelreihen zerlegt; es ist:
S* = - sum [x ^ n / (n+2) ] + 2 sum [ x ^ n / (n+3) ]
= - S2 + 2 S3; das führt auf das Ergebnis:
S* = Y * ( 2 – x ) / x ^ 2 – 2 / x ^ 2
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Anwendungen:
a)
setze x = ½; die Konvergenz ist gesichert.
Resultat:
Mit Y = 2 ln 2
S*( ½ ) = 12 ln 2 – 8 , bravo!
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b)
setze x = z = i /2, der Punkt in der Gausschen Zahleneben
liegt innerhalb des
Konvergenzkreises.
Resultat durch Einsetzen und umformen;
das ist eine andere Geschichte.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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