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Caroling (Caroling)
Neues Mitglied
Benutzername: Caroling
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 12:59: | 
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Ich habe folgendes Problem:
Zu zeigen ist, dass wenn sich ein Bruch zwischen 0 und 1 als Summe von k verschiedenen Stammbrüchen (1/2; 1/3; 1/4 usw.) darstellen lässt, er sich auch mit k+1 verschiedenen Stammbrüchen darstellen lässt.
Meine Idee wäre, zu zeigen dass sich die Summe zweier Stammbrüche wieder in 3 verschiedene Stammbrüche zerlegen lässt:
1/a + 1/b = 1/c + 1/d + 1/e
Aber irgendwie fehlt mir die Beweisidee
Carolin |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 646
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 16:10: |
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Carolin :
Vorschlag: Ich würde die Aussage mittels
vollständiger Induktion bzgl. k beweisen.
Induktionsanfang: Die Behauptung stimmt für k=1 : Es ist offenbar für jedes n € N :
(*) 1/n = 1/(n+1) + 1/n(n+1)
Induktionsannahme : für die fragliche Zahl
r € ]0,1[ gelte
r = 1/n1 + 1/n2 + ... + 1/nk
mit n1 < n2 < ... < nk.
Zerlege nun 1/nk gemäss (*) und
beachte, dass nk(nk+1) > nk+1 > nk. Damit ist die gewünschte Darstellung
von r als Summe von k+1 Stammbrüchen
hergestellt.
mfG Orion
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Caroling (Caroling)
Neues Mitglied
Benutzername: Caroling
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 16:18: |
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Super, vielen Dank!
Induktionsbeweis ist völlig klar!
Die erste Zerlegung fehlte mir, bin einfach nicht drauf gekommen.
Nochmal herzlichen Dank!
Carolin |
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