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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2706
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 21:28: | 
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Hi allerseits
Es folgt die Nummer 46 der Lockeren Folge:
Weise die Konvergenz der Reihe mit dem allgemeinen
Glied
an = (n + 2) / (n +1) * 0,5 ^ (n-1)
(der Summationsindex n läuft von 1 ad infinitum)
nach
und berechne den exakten Wert der Reihe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 645
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 14:16: |
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Hallo :
Betrachte allgemein für komplexes z
f(z) := S¥ n=1(n+2)/(n+1)*zn-1
Die Reihe konvergiert offenbar genau für |z|<1. Wegen (n+2)/(n+1) = 1 + 1/(n+1) und
zn-1/(n+1) = (1/z2)*ò0 z tn dt kann man daher schreiben
f(z) = 1/(1-z) + (1/z2) ò0 z t /(1-t)*dt
= 1/(1-z) - 1/z - (1/z2) log(1-z).
Die vorgelegte Reihe ist
f(1/2) = 4 log 2.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2709
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 14:57: |
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Hi Orion,
Eine ausgezeichnete Lösung, bei der es sich lohnt,
jeden Schritt nachzuvollziehen !
Ich bringe auch meine Idee, zu Nutz und Frommen:
Mit dem Quotientenkriterium erhlten wir:
a(n+1)/a(n) = (n+3)(n+2) / (n+2)^2 * ( ½ )
Der Grenzwert des Quotienten ist ½;
die Reihe konvergiert.
Partialbruchzerlegung von (n+2 ) / (n+ 1):
(n+2 ) / (n+ 1) = 1 + 1/(n+1)
Summationen
S1 = sum [(½)^(n-1)], n = 1 bis unendlich.
S1 = 2 als Summe einer geometrischen Reihe.
Für S2 = sum [1/(n+1) (½)^(n-1)], n = 1 bis unendlich.
verwenden wir das Ergebnis der vorhergehenden
Aufgabe LF 45 für x = ½
Das geht so:
S2 = 2 * sum [1/(n+1) (½)^n], n = 1 bis unendlich,
somit
S = S1+ S2 = 2 + 2 {2 ln 2 – 1 } = 4 ln 2
MfG
H.R.Moser,megamath
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