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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2705
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 21:13: | 
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Hi allerseits
Es folgen als Nummern zu den Lockeren Folgen einige
Aufgaben aus der Reihenlehre (INFINITE SERIES)
Den Reigen eröffnet die Aufgabe Lockere Folge 45.
Gegeben wir die unendliche Reihe mit dem allgemeinen
Glied
an = 1 / (n +1) * x ^ n
Der Summationsindex n läuft von 1 ad infinitum.
a)
Für welche Werte von x konvergiert die Reihe?
b)
Welches ist im Fall der Konvergenz ihre Summe
S = S(x) ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Carpediem (Carpediem)
Junior Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 13:10: |
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S bnxn mit bn := 1/(n+1)
Konvergenzradius lim |bn/bn+1| = lim |(n+2)/(n+1)| = 1
Die Reihe konvergiert demnach für |x| < 1.
Rand:
(1) x = 1: Es entsteht die harmonische Reihe, und die ist divergent.
(2) x = -1: Konvergenz (Leibniz-Kriterium)
Die Reihe konvergiert also genau für -1 £ x < 1.
S(x) := S¥ n=1 xn/(n+1)
xS(x) = S¥ n=1 xn+1/(n+1)
(xS(x))´ = S¥ n=1 xn = -1 + S¥ n=0 xn = -1 + 1/(1-x)
xS(x) = ò (-1 + 1/(1-x)) dx = - x - ln|1-x| + C
Bestimmung von C durch Einsetzen von x = 0:
0 = - 0 - 0 + C
C = 0
S(x) = - 1 - (ln|1-x|)/x
(Dieser Ausdruck ist zwar für x = 0 und x = 1 undefiniert, aber für x = 0 liefert die Reihe ohnehin 0, und für x = 1 ist sie divergent.) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2708
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 14:21: |
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Hi Martin,
Besten Dank für Deine eindrückliche Lösung.
Ich stelle als Ergänzung noch meine Lösung
zu b) hierher:
Vorbereitung:
Ich nehme an, es sei die Reihe für ln(1+x)
wohlbekannt, die für -1 < x <=1 konvergiert.
Diese Entwicklung lautet:
ln(1+x) = x – x^2 / 2 + x^3 / 3 - x^4 / 4 +… ad infinitum
entsprechend gilt:
ln(1-x) = - x – x^2 / 2 - x^3 / 3 - x^4 / 4 -… ad infinitum
gültig für -1 <= x <1.
medias in res:
Wir schreiben die gegebene Reihe so:
½ x +1/3 x^2 + ¼ x^3 + 1/5 x^4 + …………………..ad infinitum
= - 1 + 1 (hihi) + ½ x +1/3 x^2 + ¼ x^3 + 1/5 x^4 + …ad inf.
= - 1 + 1/x * [x +½ x^2 +1/3 x^3 + ¼ x^4 + 1/5 x^5…..]
In der eckigen Klammer steht die Entwicklung von
- ln (1 - x),
und wir sind ganz nahe am Schlussresultat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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