    
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 644
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 08:47: | 
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Hallo ,
Vorschlag : Zur Abkürzung bezeichnen wir die linke Seite der Ungleichung mit L(n).
Es gilt L(1) = 2 = 41/(1+1) ,
L(2) = 6 > 42/(2+1) = 16/3.
Die Behauptung lautet also:
L(n)>4n/(n+1) für alle n > 1.
Induktionsannahme: Für irgendein n > 2
gelte :
L(n-1) > 4n-1/n.
Rechne nun nach, dass für alle n
L(n) = 2(2n-1)*L(n-1)/n.
Nach Ind.-Annahme ist daher
L(n) > 2(2n-1)*4n-1/n2.
Bleibt zu zeigen, dass die rechte Seite
dieser Ungl. >= 4n/(n+1) ist. Nimm an,
dass dies falsch ist, d.h.:
2(2n-1)*4n-1/n2 < 4n/(n+1).
Kürze mit 4n-1 und erweitere mit
n2*(n+1). Dann entsteht
(2n-1)(n+1) < 2n2 <==> n < 1 :
Widerspruch.
mfG Orion
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