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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 874
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 19:58: | 
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Hi,
ich möchte auch mal eine Aufgabe posten die mich schon seit längerem beschäftigt! Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich habs bis jetzt nicht geschafft:
Man zeige, dass die durch f(x) = 1/x - [1/x] für x>0, f(0)=0 definierte Funktion über {0...1} integriebar ist bestimme dann den Wert des Integrals!
[1/x] soll die Gausklammer sein, {0...1} eine Intervallklammer
Danke für jeden Tipp.
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 642
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 09:19: |
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Hallo :
Hinweis: Für ganzzahliges k = 1,2,3,...
gilt
1/(k+1) < x £ 1/k <==>
k £ 1/x < k+1 <==> [1/x] = k.
Für k=0 ist x > 1. Daher gilt
f(x) = 1/x - k für x € ]1/(k+1) , 1/k].
Das fragliche Integral ist der Grenzwert
für N -> ¥ von
SN k=1 ò1/(k+1) 1/k (1/x-k) dx.
Die einzelnen Integrale lassen sich leicht
auswerten, die Summe ergibt (rechne nach !)
ln(N+1) - SN k=1 1/(k+1).
Schlussendlich wird wohl die Gauss-Konstante
g erscheinen.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2618
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 10:11: |
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Hi Orion,
Besten Dank für Deine souveräne Lösung des Problems
von Ferdi.
Ich war auch gerade damit beschäftigt, eine Antwort zu
finden.
Jetzt bleibt mir nur noch, Ferdi selbst zu zitieren mit
„ich möchte auch mal eine Aufgabe posten“;
wenn ich für diesen Satz bezüglich „posten“ die
Korrekturtaste einsetze, kommt bezeichnenderweise:
„prosten“ und das soll gelten,
Prosit!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 876
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 17:42: |
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Hi,
besten Dank! Jetzt ist mir es klar. Ich hatte vorher nicht so oft mit der Gaussklammer zu tun!
Bitte noch mal zur Kontrolle:
Ich erhalte als Wert für das Integral:
~0,4228 [exakt dann 1-C]
Ist C nun eigentlich die Gauss oder die Eulerkonstante??
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 643
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 07:34: |
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Hallo ,
Natürlich :
C :=lim (1+1/2+1/3+...+1/n - ln n )
ist die Euler-Konstante !
Integral = 1-C ist richtig.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2623
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 07:36: |
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Hi Ferdi,
Über die Begriffe Euler-Konstante und Gauss – Konstante
herrscht da und dort Verwirrung.
Ich versuche, diese Angelegenheit zu klären.
Die in Rede stehende Konstante in Deiner Aufgabe ist
die Eulersche Konstante, sie wird auch
Euler-Mascheroni-Konstante genannt.
Sie wird mit klein gamma oder gross C bezeichnet.
Näherungswert bekanntlich 0,5772156 .
Die Gauss Konstante tritt im AGM
(arithmetisch-geometrisches Mittel von C.F.G.) auf.
Sie trägt aus guten Gründen auch den Namen
Lemniskatenkonstante, Näherungswert 0,8346268.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
s
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