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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2607
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 20:13: | 
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Hi allerseits,
Zur Abwechslung gibt es nun die Nummer XXIX
der Lockeren Folge.
Die Aufgabe bezieht sich auf einen Satz von Wolstenholme
aus der Zahlentheorie, der im Jahr 1862 publiziert wurde.
Der Satz lautet:
Ist p > 3 eine Primzahl, so ist der Zähler des Bruchs
1 + ½ + 1/3 + ¼ + … + 1/(p-1)
durch p^2 teilbar.
Aufgabe.
Man beweise elementar (ohne Benützung von Restklassen)
die schwächere Form des Satzes:
Ist p > 2 eine Primzahl, so ist der Zähler des Bruchs
1 + ½ + 1/3 + ¼ + … + 1/(p-1)
durch p teilbar.
Zur Illustration:
Mit p = 13 kommt als Bruch Q:
Q = 1 486 442 880 / 479 001 600
= (vollständig gekürzt)
[13 ^ 2 * 509 ] / [ 2^3 * 3^2 * 5 * 7 * 11]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2610
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 07:13: |
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Hi,
Lösungshilfe:
Ein elementarer Beweis lässt sich dadurch führen,
dass man die Glieder frei nach C.F.G. auf eine
besonders geeignete Art zusammenfasst:
das erste Glied mit dem letzten, das zweite mit dem
zweitletzten Glied etc.
Die dadurch entstandene Summe mit ½ (p-1)
Summanden ist zur Lösung des Problems
bestens geeignet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2611
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 08:15: |
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Hi allerseits
Es gibt viele Beweise zum Satz von Wolstenholme.
Fast alle verwenden den Restklassenkörper modulo p.
Als Nebengeschenke erscheinen dabei Beweise für den
Satz von Wilson oder des kleinen Satzes von Fermat.
Ich möchte jetzt einen besonders eleganten Beweis
des schwächeren Satzes (mit p statt p^2) präsentieren.
Im Restklassenkörper modulo p betrachte man die
multiplikative Gruppe.
Als Beispiel und zur Illustration wählen wir p = 7.
Wir stellen für die multiplikative Gruppe die
Gruppentafel auf.
In den Zeilen stehen der Reihe nach
die Elemente
1 2 3 4 5 6
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
5 3 1 6 4 2
6 5 4 3 2 1
Beispiel:
multipliziere 5 mit 3:
5 o 3 = 1
multipliziere 3 mit 4:
3 o 4 = 5
Wir ermitteln die Elemente der Reziproken
Zu 1/3 gehört modulo 7 das Element 5, weil
3 o 5 = 1 gilt, etc.
Zusammenstellung der Zuordnung:
[1/1 , ½ , 1/3 , ¼ , 1/5 , 1/6 ] > [ 1 , 4 , 5 , 2 , 3 , 6 ]
Modulo p sind die (p – 1) Stammbrüche eine
Permutation der (p - 1) Gruppenelemente.
Wir erhalten modulo p:
1 + ½ + 1/3 + ¼ + … + 1/(p-1) = 1 + 2 + 3 +…+ (p-1) =
= ½ p * (p – 1 )
Die letzte Zeile ist kongruent 0 modulo p,
was zu beweisen war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 668
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 08:43: |
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Hallo,
dieser schöne Beweis wurde mit Restklassen geführt, hätte aber lt. Angabe nicht sein dürfen ...
???
Gr
mYthos
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2612
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 09:00: |
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Hy Mythos,
Das habe ich aus Plausch gemacht,hihi.
Ich habe ja selbst die Einchränkung als Schikane
eingebaut,in der Absicht,dass als Lösungen schulgerechte Methoden erscheinen.
Zu diesem Zweck habe ich bereits eine Eselsbrücke gebaut.
Wer wagt sich darüber; sie ist tragfähig !
Herzliche Grüsse nach Wien
Hans Rudolf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2613
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 09:19: |
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Hi allerseits,
Wer Gefallen am Thema findet, für den mag es
von Interesse sein, dazu noch folgendes zu erfahren:
Unter dem Satz von Wolstenholme in extenso
versteht man den Doppelsatz
Für jede Primzahl p > = 5 ist der Zähler des
(gekürzten) Bruches
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/(p-1)
durch p ^ 2 teilbar
und ebenso ist der Zähler des (gekürzten) Bruches
1/1^2 + 1 / 2 ^2 + 1 /3^2 + 1 /4 ^2+ … + 1 /(p-1)^2
durch p teilbar.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 862
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 20:32: |
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Hi Megamath,
das klingt ja alles sehr interessant,
könntest dua auch einen Beweis wie du gefordert hast- mit elementaren Mitteln- publizieren?
Ich habe im Moment wenig Zeit für eigene experimentelle Rechnungen in dieser Rechnung und außerdem ist Zahlentheorie nicht mein Spezialgebiet. Dennoch wie gesagt wäre ich an einer Lösung der Aufgabe interessiert.
mfg
Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2615
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 20:35: |
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Hi Niels,
Willkommen in der neuen Stube, hihi
Ich werde das Gewünschte morgen ins Netz stellen
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2616
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 09:13: |
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Hi allerseits,
Es folgt nun die angekündigte „elementare“ Herleitung des
Satzes von Wolstenholme in seiner ein fachen Form
Ist p > 2 eine Primzahl, so ist der Zähler des Bruchs
1 + ½ + 1/3 + ¼ + … + 1/(p-1)
durch p teilbar.
Ein elementarer Beweis lässt sich dadurch führen,
dass man die Glieder frei nach dem jungen C.F.G. auf eine
besonders geeignete Art zusammenfasst:
das erste Glied mit dem letzten, das zweite mit dem
zweitletzten Glied etc.
das sieht mit a(k) = 1/k und n = p-1 so aus:
a(1) + a(n) = p / [1*(p-1)]
a(2) + a(n-1) = p / [2*(p-2)]
a(3) + a(n-2) = p / [3*(p-3)]
etc.
Es gibt ½ (p-1) solche Paare, das letzte lautet:
a[½ (p-1)] + a[½ (p+1)] = p / [ ½ (p-1) * ½ (p+1)]
Nun bilden wir die Summe aller Zeilen;
Resultat der Summenbildung rechts einerseits r/s,
andrerseits
r/s = p / [1*(p-1)] + p / [2*(p-2)] + .. + p / [ ½ (p-1) ½ (p+1)]
In jedem Zähler erscheint p ; beim Gleichnamigmachen
kann p nicht weggekürzt werden, weil für den Nenner s
s < = (p - 1)! gilt.
Damit ist gezeigt, dass r/s den Faktor p haben muss.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 864
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 09:00: |
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Hi Megamath,
vielen Dank für deine Lösung der Aufgabe.
Vielleicht kann ich das ja mal irgendwann im Studium der Mathematik gebrauchen. Aber bis Zahlentheorie drankommt sollte es noch einige Semester daueren. Bin nämlich jetzt erst frischgebackener Student.
nochmals viele Grüße
Niels |
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