| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2519
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. August, 2003 - 10:13: | 
|
Hi allerseits,
Weil es so schhön (TF) ist:
nochmals eine unendliche Reihe; allgemeines Glied:
a(m) = (-1)^m * (m+1) / (2m+1) * 1 / 3^m.
Summiert wird von m = 0 bis unendlich.
Die Reihe konvergiert.
Welches ist der exakte Wert der Summe?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2520
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. August, 2003 - 11:49: |
|
Hi allerseits,
Ich muss unbedingt eine kleine Lösungshilfe anbringen,
im Interesse der Fairness.
Die vorliegende Reihe kann aus derjenigen der allgemeinen Reihe
in der vorhergehenden Nummer hergeleitet werden,
indem man für x einen geeigneten schönen Wert
einsetzt, der im Konvergenzbereich liegt.
Den Summationsindex n wird man auch ein wenig transformieren,
er hat es nötig.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2522
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 10:43: |
|
Hi allerseits,
Hier kommt die Lösung der Aufgabe LF XXVIII.
Wir gewinnen sie aus den Ergebnissen der Reihe in
Nr. XXVII der lockeren Folge.
Wir ersetzen dort im allgemeinen Glied der Folge
a(n) = (-1)^(n-1) * 2n / ( 2n-1) *[tan x] ^ (2n-1)
x durch Pi/6, also tan x durch 1 / sqrt(3).
Das allgemeine Glied a*(n) lautet nun in concreto:
a*(n) = (-1)^(n-1) * 2n / ( 2n-1) * [1/sqrt(3)] ^ (2n-1)
= (-1)^(n-1) * 2n / ( 2n-1) * [1/3] ^ n * sqrt(3).
Nun ersetzen wir n-1 durch m, 2n-1 durch 2m + 1 etc.
Wir erhalten:
a*(m) = sqrt(3) (-1) ^ m * (2m+2)/(2m+1) *[1/3]^(m+1)
= 2/3 * sqrt(3) * (-1) ^ m * (m+1) / (2m+1) * [1/3] ^ m
Beachte:
Der Summationsindex m läuft von 0 bis unendlich.
Bezeichnet man das allgemeine Glied der im Aufgabentext
genannten Reihe mit a(n), so gilt nach obiger Umformung:
a*(m) = 2/3 * sqrt(3) a(m),mithin
a(m) = 3/2 * 1/sqrt(3) =a*(m) = ½ sqrt(3)
Nimmt man das Ergebnis der Aufgabe XXVII zu Hilfe,
so bekommt man für die Summe S der gesuchten Reihe der a(m):
S = ½ * sqrt(3) {Pi/6 – sin(Pi/6) cos( Pi/6) } =
½ * sqrt(3) {Pi/6 – ¼ sqrt(3)} =
= Pi/12 * sqrt(3) + 3/8 ~ 0,8284498411 (Bestätigung mit Maple !)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath
|
|
