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Nadine (volkert)
Neues Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 09:26: | 
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Hallo ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.
a) Zeige, dass unter den Dreiecken mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe das gleichschnenklige den kleinsten Umfang hat
Wenn U: Umfang, g: Grundseite des Dreieckes, a1 : 1. Seite des Dreiecks, a2: 2. Seite des Dreiecks und h: Höhe des Dreiecks, dann folgt daraus
U=g+a1+a2
a1^2= h^2+p^2
a^2= h^2+q^2
p+q=g <=> q=g-p
=> a^2 =(g-p)^2 +h^2
=> U= g+ Wurzel aus h^2+p^2 + Wurzel aus (g-p)^2 +h^2
Ich weiss dass ich die Funktion auf Extremstellen untersuchen muss. Dafür muss ich die 1. Ableitung Null setzen , dann die 2. Ableitung bilden und die Ergebnisse von der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen , um zu schauen ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Ich komme aber einfach nicht darauf wie ich jetzt ableiten muss.
b) Zeige dass unter den Dreiecken mit gleichem Flächeninhalt das gleichseitige Dreieck den kleinsten Umfang hat. Für diesen Aufgabenteil bräuchte ich auch eure Hilfe.
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 11:12: |
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zu a)
g und h liegen fest, also ist p die Variable, also musst du nach p ableiten. |
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 88
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 16:25: |
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Ich hab mal versucht, die Gleichung abzuleiten (bitte rechne nochmal selbst nach, ich gebe keine Gewähr auf Richtigkeit!):
U' = [2p/(2*Wurzel{h²+p²})] - [2*(g-p)/(2*Wurzel{(g-p)²+h²})]
Ich hoffe, du kannst es entziffern.
}
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Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 16:27: |
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zur Ableitung von Wurzeln hier ne Seite:
http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abi tur/Funktionen/Wurzelfunktionen/44513%20Lebla%20Wu rzel%203%20CC.pdf |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 17:38: |
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Die Ableitung habe ich inzwischen auch. Man kann in beiden Brüchen noch die 2 kürzen.
Nach U'=0 würde ich einen der Brüche auf die andere Seite bringen und dann das Ganze quadrieren. |
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 20:20: |
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Setze nun U' = 0, bringe einen der Brüche auf die rechte Seite und quadriere beide Seiten.
Dann erhälst du:
p²/(h²+p²) = (g-p)²/[(g-p)²+h²)
<=> p²[(g-p)²+h²] = (g-p)²*(h²+p²)
<=>p²g²-2gp³+p4+p²h² = g²h²+g²p²-2gph²-2gp³+p4+p²h²
<=> 0 = g²h²-2gph²
<=> 0 = g²-2gp
<=> p = g²/2g
<=> p = g/2 |
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 20:42: |
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Zweite Ableitung: (wieder ohne Gewähr auf Richtigkeit, berechnet mit der Quotientenregel)
U''= h²/(h²+p²) + h²/[(g-p)²+h²]
Dann setzt du für p = g/2 und erhälst:
2h²/(h²+g²/4)
und das ist immer größer 0, da h und g immer größer 0 => Minimum
=> für p = g/2 ist U der minimale Umfang
q.e.d.
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 154
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 00:03: |
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zu b)
Für jede Grundseite ergibt sich aus der Fläche die Höhe. Damit liegen Grundseite und Höhe fest, und laut Lösung zu a) hat das zugehörige gleichschenklige Dreieck den minimalen Umfang. Es genügt also, gleichschenklige Dreiecke zu betrachten.
Für die Nebenbedingung nehme ich die Formel
A² = s(s-a)(s-b)(s-c) mit 2s = a+b+c
16A² = 2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)
16A² = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
Für gleichschenklige Dreiecke a=b also
16A² = (2a+c)c²(2a-c) = c²(4a²-c²)
Zu minimieren ist y = a+b+c = 2a+c
Aus der Nebenbedingung 4a² = (16A²+c^4)/c²
y = Wurzel ( 16A²/c² + c² ) + c und mit x=c
y = Wurzel ( 16A²/x² + x² ) + x
y' = ( -2*16A²/x³ + 2x ) / ( 2 * Wurzel ( 16A²/x² + x² ) ) + 1
y' = ( x - 16A²/x³ ) / Wurzel ( 16A²/x² + x² ) + 1
y' = 0
1 = ( 16A²/x³ - x ) / Wurzel ( 16A²/x² + x² )
Wurzel ( 16A²/x² + x² ) = ( 16A²/x³ - x )
16A²/x² + x² = ( 16A²/x³ - x )² = 256A^4/x^6 - 32A²/x² + x²
48A²/x² = 256A^4/x^6
3 * A² * x^4 = 16 * A^4
x^4 = 16/3 * A²
x² = 4A/Wurzel(3)
Die Prüfung der 2. Ableitung spare ich mir.
Mit der Nebenbedingung 4a² = ( 16A² + x^4 ) / x²
4a² = ( 16A² + 16/3 * A² ) / ( 4A/Wurzel(3) )
4a² = 64/3 * A² / 4A * Wurzel(3) = 16/3 * A * Wurzel(3)
also a=x=c |
Nadine (volkert)
Neues Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 08:23: |
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Super Danke für deine Hilfe |
