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Nadine (anja)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: anja
Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 13:16: | 
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Es bezeichne Z die Menge der ganzen Zahlen. Dann betrachten wir die Restklassen modulo 5; Diese bezeichnen wir mit Z5. Auf Z5 lässt sich eine Addition + und eine Multiplikation * einführen.
a) Zeigen Sie : (Z5, +) und (Z5, *) sind abelische (Kommuntative ) Gruppen.
b) Lösen sie in (Z5,+) das Gleichungssystem 1x+3y =3
3x+2y=3 ( über den Zahlen 1, 2 und 3 steht jeweils ein Strich)
c) Analog bezeichne Z6 die Menge aller Restklassen modulo 6. Zeigen Sie : In Z6 gilt 1*2=4*2 aber es gilt nicht : 1=4. Begründen sie dies. Wann darf man in Zm kürzen? ( Über den Zahlen 1, 2,4 steht ebenfalls jeweils ein Strich)
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Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 18:34: |
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zu b)
1x + 3y = 3 (mod5)
x = 3 - 3y (mod5)
setze für y=0:
x = 3
setze für y=1:
x = 3 - 3*1 = 0
setze für y=2
x = 3 - 3*2 = -3 = 2 (mod5)
setze für y=3:
x = 3 - 3*3 = -6 = 4 (mod5)
setze für y=4:
x = 3 - 3*4 = -9 = 1 (mod5)
du darfst für y nur die Zahlen von 0 - 4 einsetzen, da 5 = 0, 6 = 1... (mod5). Außerdem darf für x keine Zahl doppelt vorkommen.
=>
y| 0 1 2 3 4
-----------------
x| 3 0 2 4 1
Lösung der Gleichung:
{[0,1],[1,4],[2,2],[3,0],[4,3]}
3x + 2y = 3
du mußt versuchen, dass entweder vor x oder vor y eine 1 steht. Das schaffst du, indem du die Inverse der Zahl suchst. Ich versuche, dass vor x eine 1 steht.
Die Inverse von 3 ist 2 (da 3*2 = 6 = 1 (mod5))
x + 4y = 1
x = 1 - 4y
nun setzt du wieder für y die Zahlen von 0 - 4 ein, dann erhälst du (rechne selbst nach):
y| 0 1 2 3 4
-----------------
x| 1 2 3 4 0
Lösung der Gleichung:
{[0,4],[1,0],[2,1],[3,2],[4,3]}
Ich hoffe, ich konnte dir mal soweit helfen. |
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 18:41: |
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Z6 = {0,1,2,3,4,5}
1*2 = 2 (mod6)
4*2 = 8 = 2 (mod6)
=> 1*2 = 4*2
aber: 1¹4, da 1 und 4 Element von Z6.
Man darf immer dann kürzen, wenn das Kürzen die Zahl (modm) nicht verändert. In diesem Fall hättest du 1 mit 4 kürzen können, da in beiden Fällen 2 stehen bleibt und wie wir gesehen haben ist 1*2 = 2 = 4*2.
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 632
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 00:49: |
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@Nadine
Warum das Ganze nochmals?
(Doppelpostings in einem Forum gehören nicht gerade zur "Netiquette")
sh.
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausauf gaben/show.cgi?4244/313402
@Panther:
Dass Nadine das schon einmal gefragt hat und auch eine ausführliche Antwort erhalten hat, hast du wahrscheinlich nicht bemerkt. Schau dir bitte dies mal an ....
Es war die Lösung des Systems gesucht, nicht die der einzelnen Gleichungen, allerdings wäre zum Schluss nur noch das gemeinsame Paar herauszupicken gewesen.
Und 1 mit 4 kürzen finde ich sehr gewagt, nur weil auf beiden Seiten 2 stehenbleibt! Es ist sicher unzulässig, einfach weil 1 nicht 4 ist und die beiden auch nicht in der selben Restklasse mod(6) liegen.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 23., Juli. 2003 von mythos2002 editiert) |
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