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Benedikt Hock (ben2001)
Neues Mitglied
Benutzername: ben2001
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juli, 2003 - 22:18: | 
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Hallo!
Ich bitte um eine kurze Begründung, warum der Punkt [0,0,0] in der projektiven Ebene nicht existiert.
Im Voraus schon mal danke! |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 633
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:58: |
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Benedikt,
Die projektive Ebene P2(K) über einem Körper K
ist folgendermassen definiert:
Für Vektoren x,y € K3 ungleich (0,0,0) erklärt man zunächst eine Aequivalenzrelation
x aequivalent y :<=> y=lx mit l‡0.
Die zugehörigen Aequivalenzklassen P= [x] sind die Punkte . Eine solche Klasse [u] soll ebenso als Gerade g definiert werden. Dabei soll gelten:
P inzidiert mit g :<=> u•x = 0.
(• bezeichnet das Skalarprodukt). Dann gilt die
Inzidenzaussage (und das will man ja erreichen):
Zwei verschiedene Geraden g=[u] und h=[v]
inzidieren mit genau einem Punkt (nämlich mit
P=[u x v]). Würde man nun [(0,0,0)] als Punkt
zulassen, so würde dieser mit jeder Geraden inzidieren.
mfG Orion
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2244
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 15:00: |
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Hi Benedikt,
Deine Frage bezieht sich offenbar auf die homogenen
Koordinaten des R2.
Durch die Definition
x = X / T, y =Y / T werden einem Punkt P der euklidischen
Ebene den gewöhnlichen (nicht homogenen) kartesischen
Koordinaten x , y ebensolche homogene Koordinaten
X,Y,T zugeordnet.
Man schreibt dann P(x/y) = P(X/Y/T).
Die homogenen Koordinaten sind nur bis auf
Proportionalität bestimmt
So stellen die Tripel (247 / - 65 / 26) und (19/-5/2)
denselben Punkt P dar; die rechtwinkligen Koordinaten
dieses Punktes lauten x = 9,5 ; y = - 2,5.
Das dürfte bekannt sein.
Durch die Einführung der homogenen Koordinaten können
auch die uneigentlichen Elemente der Ebene erfasst werden.
Beispiele:
(1/1/0) ist der unendlich ferne Punkt der Geraden y = x
Die Gleichung T = 0 ist die Gleichung der unendlich fernen
Gerade der Ebene in homogenen Koordinaten
Der Kreis x^2 + y^2 – r^2 = 0 hat in homogenen
Koordinaten die Gleichung
X^2 + Y^2 – r^2 T^2 = 0, die Gleichung der zugehörigen
Polaren lautet:
X1 X + Y1 Y – r^2 T1 T = 0
Für den Nullpunkt (0//0/1) als Pol erhält man die Polare mit der
Gleichung T = 0 , also die unendlich ferne Gerade.
Ein wichtiger Aspekt ist der folgende:
X = 0 ist die Gleichung der y-Achse.
Die Punkte mit X = 0 und T nicht null
liegen auf der y-Achse,
kommt T = 0, aber Y nicht null dazu, so liegt der
unendlich ferne Punkt der y-Achse vor.
Y = 0 ist die Gleichung der x-Achse.
Die Punkte mit Y = 0 und T nicht null
liegen auf der x-Achse,
kommt T = 0, aber X nicht null dazu, so liegt der
unendlich ferne Punkt der x-Achse vor.
Die x-Achse und die y-Achse werden zusammen
mit der unendlichfernen Geraden T = 0
dazu benützt, das System der Dreieckskoordinaten
mit homogenen Koordinaten zu definieren.
Dabei wäre es sinnlos, Punkte mit homogenen
Koordinaten (0/0/0) anzusetzen, da es dafür keine
geometrische Interpretation gibt.
Das erwähnte System mit den drei Geraden
X = 0, Y = 0, T = 0 deckt alles ab,
die eigentlichen und uneigentlichen Elemente.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Benedikt Hock (ben2001)
Neues Mitglied
Benutzername: ben2001
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 17:49: |
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Danke für die ausführlichen Antworten. Hab nämlich morgen Seminar "Projektive Geometrie". Mein Thema: Kegelschnitte.
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