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Lydia (lydia22)
Mitglied
Benutzername: lydia22
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 17:28: | 
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Schreiben sie einen Aufsatz zum Thema "Platonische Körper", in dem insbesondere gezeigt wird, dass es nur fünf platonische Körper gibt.
Frage:
Mit welche platonischen Körper kann man den Raum lückenlos ausfüllen?
Können sie ihre Antwort plausibel machen (gar beweisen)?
Habt ihr vielleicht irgendwelche Tipps, interessante Seiten, etc. ?
Wäre super!
Danke |
Erna (ewild)
Neues Mitglied
Benutzername: ewild
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 18:12: |
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Wenn Du bei google Platonische Körper eingibst, bekommst Du jede Menge interessanter Seiten angezeigt.
Am Beweis für das lückenlose Ausfüllen scheitere ich auch noch. Meine Idee wäre bisher mit Gegenbeispielen zu argumentieren.. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1260
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 11:45: |
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zum Auffüllen muss ein ganzes Vielfaches der Winkel zweier Flächen mit gemeinsamer Kante 360° ergeben.
Das ist nur beim Würfel der Fall.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Erna (ewild)
Neues Mitglied
Benutzername: ewild
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 21:22: |
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Aber beim Tetraeder funzt es doch auch? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1261
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juli, 2003 - 10:45: |
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Für den Flächenwinkel w beim Tetraeder gilt
c1 = cos(w) = (h/3) / h = 1/3, wobei h die Höhe der gleichseitigen 3ecke ist
somit
s1 = sin(w) = Wurzel(8/9) = 2*Wurzel(2)/3
sin(2w) = s2 = 2*s1*c1 = 4*Wurzel(2)/9
cos(2W) = c2 = Wurzel(81-32)/9 = 7/9
s3 = s2c1 + s1c2
=
4*Wurzel(2)/27 + 7*2*Wurzel(2)/27
=
18*Wurzel(2)/27 = 2*Wurzel(2)/3 = s1
c3 = c1
wenn man also bei der numerischen Näherung
arcuscosinus(1/3) = 70.5287793655... °
nicht glauben will, Vielfache davon wären nie 360°,
wobei beim 5- oder 6-Fachem ohnehin Schluß wäre
sieht man an der Folge sn daß die nie 0 wird.
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"Ähnlich" läßt es sich für den Oktaeder zeigen,
und für Dodekaeder und Ikossaeder dürfete wohl die Anschauung genügen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Erna (ewild)
Neues Mitglied
Benutzername: ewild
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juli, 2003 - 12:20: |
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Du meinst also bei dem Tetraeder funktioniert es nicht? Das ist ja der Hammer! Hab in meinem Mathebuch stehen, dass das für Tetraeder und Hexaeder funktioniert... (mit dem Lückenlosen Ausfüllen) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1263
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juli, 2003 - 14:32: |
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eine weitere Möglichkeit ist, einen Oktaeder und 8 Tetraeder zu eineme Hexaeder zusammenszusetzen (mit dem dann Füllung möglich ist )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Erna (ewild)
Neues Mitglied
Benutzername: ewild
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juli, 2003 - 21:47: |
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Sag mal, ein Oktaeder ist doch wie zwei zusammen geklebte Tetraeder??? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1265
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 07:00: |
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Kann er dann 8 Flächen haben?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Lydia (lydia22)
Mitglied
Benutzername: lydia22
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 13:24: |
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Hey Erna, ;-)
hast du denn jetzt noch ne (für uns) sinnvolle Erklärung gefunden, ich weiß jetzt nämlich so gar net was ich da noch in meiner Hausarbeit zu der Frage schreiben soll...
Ich denk mal die Frag ist aber trotzdem ziemlich wichtig - alles andere hab ich mehr oder weniger!
LG
LYdia |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1269
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 15:27: |
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Welche Frage?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Lydia (lydia22)
Mitglied
Benutzername: lydia22
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 17:27: |
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Kleine Info, Erna und ich kennen uns...
Na die Frage mit welchen platonischen Körpern man den Raum füllen kann und vorallem WARUM???
Du hast gemeint, daß der Winkel zwischen 2 Flächen ein vielfaches von 360° sein muß...
Also abgesehen davon, daß ich da so oder so noch en bissle auf dem Schlauch stehe - was ist denn die Begründung dazu???
LG
Lydia |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1270
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 18:03: |
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der Winkel zwischen 2 Fläche muss 360°/n mit natürlichem n sein. Ist das an den Würfeln nicht anschaulich genug?
Wäre der Winkel ein anderer, so ist schon diese " 1te Stufe" des Füllens unmöglich da eben "Raum" offen bleibt der mit einem gleichartigem Körper
nicht füllbar ist.
Wenn man ein Paar der Flächen so hält, daß sie als
gerade Linien erscheinen, die gemeinsame Kante als Punkt, dann ist der Winkel zwichen den Linien der
Flächenwinkel, der Punkt sein Scheitel.
Wenn ein ganzes Vielfaches dieses Winkels nicht
360° ergibt läßt sich der Raum nicht vollständig
füllen.
Ist
meine Flächenwinkelberechnung für den Tetraeder
denn unverständlich?
-----------------
wenn Du Deine Arbeit noch bereichern willst:
ich
meine, in einem der Jahrgänge der Zeitschrift
"Der Mathematikunterricht" sah ich, daß dem Hexaeder auch ein Dodekaeder "eibeschreibbar" ist
(Hex.: 12 Kanten, Do.: 12 Flächen)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Erna (ewild)
Neues Mitglied
Benutzername: ewild
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 18:40: |
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@Friedrich: Logisch, das Oktaeder besteht ja aus 2 Pyramiden und nicht aus zwei Tetraedern. I am sorry!!! Manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
@Lydia: Ich habe noch eine kleine Erklärung zugeschickt bekommen, die aber auch nicht sehr hilfreich war. Ich sende sie Dir per e-Mail, allerdings solltest Du sie nicht wörtlich ünernehmen - bei mir stehts jedenfalls genauso im Aufsatz.
Hoffe, Du kommst morgen pünktlich zu Mathe II??? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1271
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 18:51: |
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@erna: schon gut. Allerdings ist auch der T. eine P.
@Lydia: übrigens ist der Oktaeder auch ein "Antiprisma" ( je 2 zueinander parallele 3ecke sind um 30° gegeneinander gedreht. )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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