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Lydia (lydia22)
Mitglied
Benutzername: lydia22
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 17:32: | 
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Beweisen Sie den Satz des Napoleon:
Errichtet man über den Seiten eines Dreiecks gleichseitige Dreiecke (nach außen), so sind die Mittelpunkte dieser gleichseitigen Dreiecke Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks.
Auf den US-amerikanischen Präsidenten J.A. Garfield geht der folgende Beweis des Satzes des Pythagores zurück:
Seien a und b die Katheten, c die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Dann lege man zwei dieser Dreiecke nebeneinander, daß die Kathete a des einen Dreiecks die Kathte b des anderen geradlinig verlängert. Nun verbinde man noch die beiden Spitzen der Dreiecke. Es entsteht ein Trapez. Indem man dessen Fläche auf zweierlei Art ausrechnet, bekommt man den Pythagoras. Führen sie das aus! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2179
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Juni, 2003 - 10:13: |
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Hi Lydia,
Zu Deiner ersten Frage.
Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC.
Errichte über den drei Seiten nach aussen je ein
gleichseitiges Dreieck; die äusseren Ecken dieser
Dreiecke seien A´ vis- à -vis A, B´ vis- à- vis B ,
C´ vis- à- vis C .
Die Verbindungsgeraden AA´, BB´, CC´
schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt P,
dem so genannten Fermatschen Punkt des Dreiecks
(und das ist wieder eine andere Geschichte).
Der Schnittwinkel der Verbindungsgeraden ist jeweils 60°.
Der Satz von Napoleon lautet:
Die Mittelpunkte der drei gleichseitigen Dreiecke
bilden ein gleichseitiges Dreieck.
Begründung
Die drei Vierecke APBC´,BPCA´,CPAB´sind
Sehnen- oder Kreisvierecke, sie haben alle einen Umkreis.
Diese sind identisch mit den Umkreisen der in der Aufgabe
von Napoleon erwähnten gleichseitigen Dreiecke.
Eine Winkelbetrachtung genügt, den Satz zu beweisen.
Jeder Umkreis eines dieser gleichseitigen Dreiecks geht,
wie gesagt,auch durch P.
Nun stehen die Verbindungsgeraden je zweier Mittelpunkte
der Dreiecke als Zentrale zweier Kreise auf den Sehnen
AP, BP, CP senkrecht und bilden daher je zu zweien
den Winkel 60°,woraus sich die Behauptung sofort ergibt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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