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Polynom 3. Grades

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Sonstiges » Polynom 3. Grades « Zurück Vor »

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Ralf Oldengott (kristoi)
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Benutzername: kristoi

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 09:30:   Beitrag drucken

Guten Tag,
ich habe folgendes Problem:
ich habe sechs Wertepaare und möchte daraus ein Polynom 3. Grades der Form:
f(x) = A*x³ + B*x² + C*x + D
machen.
Die sechs Wertepaare sind:
(x,f):
(0.5,77.2)
(3.0,80.5)
(4.0,84.6)
(7.5,93.0)
(8.5,97.9)
(12.0,98.7)
Kann man die Koeffizienten A, B, C und D analytisch berechnen?
Für Hilfe bin ich dankbar.
Gruß
Ralf

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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 544
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 10:04:   Beitrag drucken

Hi Ralf,

die erste Gleichung sieht so aus:

77.2 = A*0.53 + B*0.52 + C*0.5 + D
die anderen 5 Gleichungen analog,

jetzt müssen genau 2 Gleichungen durch lin. Kombination der anderen hervorgegangen sein, sodaß sie weggestrichen werden können; ist das nicht der Fall, ist das Problem unlösbar;

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Ralf Oldengott (kristoi)
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Benutzername: kristoi

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 10:56:   Beitrag drucken

Vielen Dank Walter,
ganz so einfach ist es aber doch nicht, da das Polynom zwecks Genauigkeit durch alle sechs(!) Wertepaare beschrieben werden soll und nicht nur durch vier, was zur Auflösung nach Ihrer beschriebenen Methode ausreichen würde.
Übrigens, die 6 Wertepaare ergeben sich aus einer Messung.
Beste Grüße
Ralf
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 621
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 10:59:   Beitrag drucken

Ralf,

Eine Polynomfunktion 3.Grades ist durch 4 Wertepaare
(x,f(x)) eindeutig bestimmt.

Zweckmässig ist z.B.folgender Ansatz (nach Newton):

f(x) = a + b(x-0.5)+c(x-0.5)(x-3.0)+d(x-0.5)(x-3.0)(x-4.0)

Die Koeffizienten a,b,c,d lassen sich leicht rekursiv
berechnen, und durch Einsetzen der übrigen Daten
sieht man dann sofort, ob die Aufgabe lösbar ist.
mfG Orion
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 547
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 13:12:   Beitrag drucken

Danke Orion,

Den Ansatz kannte ich nicht, aber ich denke der gelingt nur dann, wenn nach meiner Methode 2 Gleichungen eine lin. Komb. der anderen sind.

Ralf, kann es sein, daß es nur angenähert werden kann => kubische Splines?!?

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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feige (feige)
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Benutzername: feige

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 14:17:   Beitrag drucken

Hallo Walter, Hallo Walter
allgemein gilt folgener Satz (Beweis findest man in fast jedem Analysisbuch): Seien p und q jeweils reelle Polynome vom Grade n, dann gilt: Die beiden Polynome stimmen genau(!) dann ueberein, wenn sie in (n + 1) unterschiedlichen Punkten uebereinstimmen.
In dem gegebenen Fall ist ein Polynom dritten Grades gesucht. Demzufolge werden 4 x_i, mit i = 1, 2, 3, 4 benoetigt um das Polynom eindeutig zu bestimmen. Die einzige Bedingung die der oben genannte Satz fordert, ist das x_i ungleich x_j, mit i,j = 1, ..., 4 und i ungleich j.

Man kann einfach 4 Punkte beliebig auswaehlen und immer ergibt sich die gleiche Loesung. Wenn dies nicht so ware, dann musste der Satz falsch sein. Somit kann man auch zeigen, dass sich bei 6 Gleichungen, zwei Gleichungen auf andere Gleichungen ueberfuehren lassen.
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 548
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 14:50:   Beitrag drucken

Tja feige, da haste dich aber etwas zu wenig präzise ausgedrückt: es ist hinreichend zu zeigen,
daß Polynome vom Grad n sie in n+1 Punkten übereinstimmen; übereinstimmen tun sie dann in allen Punkten;
daher sagte ich ja, daß 2 Gleichungen eine Lin. Komb. der anderen sein müssen, damit es lösbar ist.

Dein 2ter Absatz ist Schwachsinn => es handelt sich um Meßwerte und da ist es eher nicht üblich von 4 Meßwerten auf die anderen beiden zu schließen

Walter
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 622
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 15:21:   Beitrag drucken

Hallo,

so wie die Dinge liegen, soll man wohl die Methode
der kleinsten Quadrate
anwenden: Gesucht ist dasjenige kubische Polynom, für welches die
Summe der Quadrate der Abweichungen ein Minimum
wird.

mfG Orion
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Ralf Oldengott (kristoi)
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Benutzername: kristoi

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 07:48:   Beitrag drucken

Hallo liebes Forum,
danke für die vielen Beiträge.
Walter, es wird so sein, dass das Polynom nur angenähert werden kann. Es handelt sich ja schließlich um Messwerte. Sicherlich lassen sich durch 4 Wertepaare nicht exakt (aber möglicherweise relativ genau) die beiden anderen finden.
Ich möchte aber definitiv alle sechs Messungen zur Aufstellung der Gleichung nutzen.
Der Ansatz von Orion scheint mir plausibel. Aber kann man jetzt schöne handliche Gleichungen
für
A=f(alle sechs Wertepaare)
B=f(alle sechs Wertepaare)
C=f(alle sechs Wertepaare)
D=f(alle sechs Wertepaare)
aufstellen?
Gruß
Ralf



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Ralf Oldengott (kristoi)
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Benutzername: kristoi

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 08:06:   Beitrag drucken

Ergänzung:

die sechs von mir beschriebenen Messungen werden in einem industriellen Prozess immer wieder durchgeführt, so dass ich erwarte, dass sich die Kurve, somit das Polynom und somit die Konstanten abhängig von äußeren Einflüssen, ständig ändert.

Die Konstanten werden für weitere Auswertung verwendet. Somit wäre es wünschenswert, wenn die Konstanten als programmierfähige Gleichungen vorliegen. Ich weiss die Methode des kleinsten Fehlerquadrates hier nicht so recht programmiertechnisch zu verarbeiten.
Gruß
Ralf
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 625
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 09:51:   Beitrag drucken

Ralf,

Angenommen, man hat n Messpunkte (xi,yi),
i=1,...,n. Ich kürze ab:

Sx := Sn i=1 xi, Sy:=Sn i=1 yi,

Sxy:=Sn i=1xiyi,

Sx2y:=Sn i=1 xi2yi, etc.

Dann stellt man die sog. Normalgleichungen

(1) A*Sx3+B*Sx{2}+C*Sx+D*n = Sy

(2) A*Sx4+B*Sx3+C*Sx2+D*Sx = Sxy

(3) A*Sx5+B*Sx4+C*Sx3+D*Sx2=Sx2y

(4) A*Sx6+B*Sx5+C*Sx4+D*Sx3=Sx3y

auf. Die Auflösung dieses Gleichungssystems ergibt
die Koeffizienten der least-squares cubic parabola


mfG Orion

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