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Dana (suessherz)
Junior Mitglied
Benutzername: suessherz
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 11:06: | 
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a) Unter den Dreiecken mit gleicher Grungdseite und gleicher höhe hat das
gleichschenklige den kleinsten Umfang.
b)unter den dreiecken mit gleichen flächeninhalt hat das gleichseitige
den kleinsten Umfang. Man vergewissere sich, dass es zu jedem
vorgegebenen Flächeninhalt ein gleichseitiges Dreieck gibt.
Wie kann man dies am einfachsten zeigen. ich komme da einfach nicht drauf.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1244
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 12:19: |
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seltsame Frage.
s = Seitenlänge des gleichseitigen 3ecks, A = Fläche
A = s²*Wurzel(3)/4
4*A/Wurzel(3) = s²
somit gibt es für jedes A > 0 ein zugehöriges reelles s.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 15:38: |
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Ich verstehe die Fragen mehr als Extremwertaufgaben:
Hier jeweils Beweisskizzen:
U: Umfang
g: Grundseite des 3Ecks
s1: Seite1 des 3Ecks
s2: Seite2 d.3Ecks
h: Höhe d.3Ecks
a)
U=g+s1+s2
s1^2=h^2+p^2
s2^2=q^2+h^2
p+q=g <=> q=g-p
=> s2^2=(g-p)^2+h^2
=> U=g+sqrt(h^2+p^2)+sqrt((g-p)^2+h^2)
Die Funktion U(p) untersuchen wir jetzt auf Extremstellen.
Dabei erhalten wir p=g/2, also auch q=g/2. Demnach ist
das Dreieck mit extremalem Umfang gleichschenklig.
Teil b) ist mir noch nicht klar.
Gruß,
X. |
Dana (suessherz)
Junior Mitglied
Benutzername: suessherz
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 19:47: |
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zu a)Was meinst du mit U(p) auf Extremstellen untersuchen?. Wie geht das und wie kommst du dann auf p=g/2 bzw. q=g/2?
zu b) Wie kommst du auf die Flächenformel? Sonst ist A=s*h/2. In diesem Fall ist dabei h=sqrt[s^2-(s/2)^2]. also wäre A=s*sqrt[s^2-(s/2)^2]/2
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Astrid Sawatzky (sawatzky)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sawatzky
Nummer des Beitrags: 75
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 15:12: |
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Da wir ja in a schon gezeigt haben,dass bei gegebenen g und h (was ja auch ein A ist) das gleichschenklige den minimalen Umfang hat, benutzen wir das einfach weiter
im gleichschenkligen Dreieck gilt
U=g+2s
A=g/2*wurzel(s2-g2/4)
Nach s aufgelöst ergibt das
S=wurzel(4A2/g2+g/4)
Daraus folgt
U= g +2* wurzel(4A2/g2+g2)/4)
U’=1+(-8A2/g3 +g/2)/(wurzel(4A2/g2+g/4))
als Minimum erhalten wir
g^2= 4*A/Wurzel(3)
eingesetzt in
s=wurzel(4A2/g2+g/4)
erhalten wir nach umgeforme
s^2=4*A/Wurzel(3)
also s^2 = g^2
und fertig
Gruß Astrid |
