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amir (amir24)
Neues Mitglied Benutzername: amir24
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 10:38: |
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Hallo, wer von euch kann mir bei folgenden Aufgaben weiterhelfen? 1) Bestimmen Sie alle ganzen Funktionen f mit f(f(z)) = (f(z))^2 für alle z aus C. 2) Es seien f: D->C holomorph auf der offenen Menge D teilm. C und z_0 aus D, R > 0, Abschluss von K_R(z_0) teilm. D (Kreis mit Radius R um z_0).Zeigen Sie: Für alle aus K_R(z_0) gilt die Poissonsche Integralformel f(z) = 1/2piR * Integral(über Rand vobn K_R(z_0)) (R^2 - |z - z_0|^2)/|s - z|^2 * f(s)|ds| |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 617 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 08:23: |
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amir, Kurze Hinweise: a) f (z) ganz :<=> f(z) = a0+a1z+a2z2+... wobei die Potenzreihe für alle zeC konvergent. Mit f(z):= w soll für alle z gelten a0 + a1w + a2w2+...= w2. Koeffizientenvergleich : a2=1, alle übrigen ak=0. Daher f(z)=z2. b) Sei der Einfachheit halber z0=0. Nach der Cauchy-Integralformel ist für ein z innerhalb K f(z) = (1/2pi)intK f(s)/(s-z) ds. Der Punkt R2/z* (z*:= konjugierte von z) liegt ausserhalb von K, daher (wieder Cauchy) (1/2pi) intK f(s)/(s-R2/z*) ds = 0.. Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 618 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 10:09: |
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5{ a) Der gegebene Ansatz setzt stillschweigend voraus, dass f(z) nicht konstant ist und erfasst somit nicht die "trivialen" Lösungen f(z)=0 und f(z)=1. b) Beachte, dass z ® R2/z* die Inversion (Spiegelung) von z am Kreis K ist. mfG Orion
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amir (amir24)
Neues Mitglied Benutzername: amir24
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 10:30: |
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Danke für Deine Anregungen. mfG Amir |