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Beitrag |
    
Dana (suessherz)
Neues Mitglied
Benutzername: suessherz
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 00:01: | 
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Die Restklassen modulo 5 seien (z5). Auf (z5) lässt sich eine Addition + und eine Multiplikation * durchführen.
Zeige:
a) (z5, +) und (z5, *) sind abelsche (kommutative) Gruppen.
b) löse in (z5, +, *) gas Gleichungssystem
1*x + 3*y = 3
3*x + 2*y = 3 |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 542
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 00:40: |
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a) das folgt unmittelbar daraus, daß die gleichen operationen wie f. ganz Z gemeint sind;
in Z5: 3 + 4 = 2 und 4 + 3 = 2
in Z: 3 + 4 = 7 und 4 + 3 = 7
analog f. Multiplikation
0 is neutrales f. Addi
1 is neutrales f. Multi
b) x = 4 und y = 3
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Dana (suessherz)
Neues Mitglied
Benutzername: suessherz
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 17:12: |
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erst mal vielen, vielen dank... aber ich muss doch nochmal nachfragen
zu a) Muss man nicht sämtliche Gruppenaxiome nachweisen? d.h. Assoziativität, Kommutativität (weil abelsch) und die existensen der neutralen bzw. inversen Elemente.
Die neutralen Elemente für "Addi" und "Multi" sind klar, aber wie muss man den genau (formal) vorgehen, um das alles zu zeigen? d.h. wie notiert man sowas korrekt?
zu b) x=-1 Y=3 wäre doch auch eine Lösung. ich hab einfach ein bischen ausprobiert. gibt's einen besseren weg? |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1408
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 20:20: |
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Natürlich musst du dir zu allen Gruppenaxiomen Gedanken machen. Aber die meisten bekommst du aus den Rechenregeln für Z "geschenkt", wenn folgendes ausgenutzt werden kann:
a/~ + b/~ = (a + b)/~
a/~ * b/~ = (a * b)/~
Dann z. B. die Kommutativität:
a/~ + b/~
= (a + b)/~
= (b + a)/~
b/~ + a/~
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1409
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 20:22: |
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(Dabei ist a/~ diejenige Restklasse von Z5, die a enthält) |
elin (hulio)
Neues Mitglied
Benutzername: hulio
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 16:00: |
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hey ich bin gerade dabei diese aufgabe zu lösen. nehme an du hast sie aus der staatsexamensklausur von uni-frankfurt.naja , ich habe für die gleiche frage ein beitrag geschrieben.und habe für b auch rumprobiert wie du. ich versteh nicht wie man zu diesem ergebnis kommt-die gleichung ist ja eine diophantische gleichung. kann man die lösung nach dem euklidschen algorithmus finden?? |
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 09:42: |
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Wenn du die erste Gleichung mit dem euklidischen Algorithmus ausrechnest, dann erhälst du x=0 und y=1. Das sind aber noch nicht alle Lösungen mod 5.
Hier ein Trick, wie du alle Lösungen bekommst. Diesen Trick kannst du für alle diese Aufgaben anwenden.
Du versuchst, dass vor x oder y eine 1 steht. Dann bringst du die Variable, vor der 1 steht, auf die linke Seite. Dann kannst du dir eine Wertetabelle machen. Diese geht genauso, wie du es mal in der 8. oder so gelernt hast. ABER: Du darfst nur die Zahlen von 0 bis m-1 (m ist die Zahl, die hinter mod steht)einsetzen. Als Ergebnis darf auch immer nur 0 bis m-1 rauskommen.
Was ich oben geschrieben habe, zeige ich dir mal am zweiten Beispiel, das erste kannst du dann selbst probieren.
3x+2y=3 (mod 5)
Jetzt suchst du die Inverse zu 3, und die ist 2 (da 3*2 = 6, 6-5=1 (wegen mod 5))
x+4y=1 (mod 5)
x=1-4y
Nun die Wertetabelle:
y| 0 1 2 3 4
-----------------
x| 1 2 3 4 0
Ich hoffe, du hast es verstanden. Diesen Trick hat uns unsere Dozentin gezeigt.
Mit dem euklidischen Algorithmus gehts fast genauso. Du erhälst dann als Partiallösung x=1, y=0
Dann kannst du das in die Formel einsetzen (ich hoffe, ihr habt die gehabt) und erhälst dann alle Lösungen für x und y.
Dies kann aber u.U. ganz schön langwierig sein, v.a. dann, wenn du große Zahlen hast und da den EA berechnen mußt. Versuchs ein paar Mal mit meinem Trick - wenn das sitzt, hast du solche Aufgaben in 0,nix gelöst.
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