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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2139
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 09:15: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer XXIV der lockeren Folge:
Die Gleichung in Polarkoordinaten
r = a / [0.5 - cos(phi)]
stellt eine Hyperbel dar.
a)
Wandle die Gleichung in eine Relation mit rechtwinkligen
Koordinaten x,y um, und ermittle die Hauptdaten
der Hyperbel (Mittelpunkt,Halbachsen).
b)
Berechne direkt aus der Polarkoordinatendarstellung,
also ohne Rückgriff auf die Hyperbelgleichung in x,y ,
Gleichungen der Asymptoten in der Form y = m x + q.
Viel Vergnügen bei der Lösung
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 771
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 13:02: |
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Hi,
meine Ergebnisse zu a)
H: y² = 3x² + 8ax + 4a²
Daran ein wenig gebastelt:
(x+(4/3)a)²/(4/9*a²) - y²/(4/3*a²)=1
Also Mittelpunkt: x= 4/3 * a , y=0
Halbachsen: 4/9*a² und 4/3*a²
Wie kann ich denn direkt aus der Polargleichung die Asymtoten ablesen?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2140
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 13:38: |
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Hi Ferdi,
Kleine Korrektur zu a):
Mittelpunkt M(-4a/3 ; 0),
Halbachsen: A = 2a/3, B = 2a /sqrt(3); daraus Steigung m der Asymptoten:
m = (+ -) B/A= (+ - ) sqrt(3), dies zur späteren Kontrolle.
b) ablesen kannst Du nur die Steigungen m der As.:
Der Nenner in der Polargl.wird null für
phi = (+-)Pi/3,woraus die obigen Werte für m entstehen.
Ansatz für die Asymptotengleichung:
y = m x + q
Jetzt wird´s heikel:
die Bestimmung von q aus der Polargleichung ist recht anspruchsvoll
und nicht Jedermanns Sache ,
hihi!
Ich komme auf die Angelegenheit zurück !
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2144
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 21:00: |
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Hi Ferdi,
Ich zeige Dir jetzt, wie ich die Teilaufgabe b) aus
LF XXIV gelöst habe, indem ich die Rechnung
für die Asymptote mit der Steigung m = sqrt(3)
durchführe.
Die Gleichung der As. lautet im Ansatz:
y = m x + q , also y = sqrt(3) * x + q
Wenn wir nach q, der großen Unbekannten, auflösen,
erhalten wir q = y – sqrt(3)*x
Die ganze rechte Seite schreiben wir nun im Sinne
der Polarkoordinaten als Funktion T =T(phi) des
Polarwinkels phi an:
T = r (phi) * sin(phi) – sqrt(3) * r(phi) * cos(phi)
oder
T = r * [sin(phi) – sqrt(3) cos(phi)]
Für r setzen wir die gegebene Funktion r = r(phi)
ein,d.h.
r = a / [0.5 - cos(phi)], und wir erhalten:
T= a*[sin(phi) – sqrt(3)cos(phi)] / [0.5 - cos(phi)]
Wir kürzen den Bruch mit cos(phi); Resultat:
T= a* [tan(phi) – sqrt(3)] / [0.5 / cos(phi) - 1]
Die gesuchte Konstante q ist nun der Grenzwert
von T für phi strebt gegen Pi/3.
Alles ist in bester Ordnung:
es entsteht die unbestimmte Form 0/0; daher
geht es weiter mit de L´Hospital-Bernoulli:
q = lim T = ?
Ableitung des Zählers nach phi: a* {1/[cos(phi)] ^2 }
Ableitung des Nenners nach phi:0.5*{1/[cos(phi)]^2* sin(phi)}
Der Grenzwert des Quotienten der beiden letzten Zeilen
für phi gegen Pi/3 gibt
q = a * 4 / sqrt(3)
******************
ein Ergebnis, das sich auch bei konventioneller Rechnung
mit rechtwinkligen Koordinaten ergibt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 776
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 12:48: |
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Hi,
ich hab mir deine Methode mal durchgelesen. Sie ist sehr interesant! Dein Repertoire an Möglichkeiten eine Aufgabe auf verschieden Weisen zu lösen scheint ja nahezu unbegrenzt zu sein...
mfg |
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