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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2136
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 19:13: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer XXIII der lockeren Folge:
Gegeben ist eine Kurve c in Polarkoordinatendarstellung
r = sqrt(2)* cos(phi) – 1 , wobei 0<= phi < 2Pi gilt.
a)
Ermittle alle Schnittpunkte von c mit der x-Achse
in der Anordnung wachsender phi-Werte
b)
dasselbe für die y-Achse.
c)
Die beiden im 2. und 3. Quadranten verlaufenden
Teile von c haben eine gemeinsame Tangente.
Welches ist deren Gleichung?
d)
Ein Teil von c umschließt das Gebiet einer kleinen
Schlinge (loop), deren Fläche F1 zu bestimmen ist.
e)
der Rest von c umschließt eine große Schlinge,
deren Fläche F2 ebenfalls berechnet werden soll.
f)
Bestätige:
F2 – 3 F1 = 6.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 772
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 14:52: |
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Hi,
Schnittpunkte mit der x-Achse:
( 0 | 0 ) , ( Ö2-1 | 0 ) , ( Ö2+1 | 0 )
Schnittpunkte mit y-Achse: ( 0 | -1) , ( 0 | 0 ) und ( 0 | 1 )
Handelt es sich hierbei um eine Pascalsche Schnecke?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2142
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 15:12: |
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Hi Ferdi,
Ein kleiner Zwischenbericht zur Aufgabe XXIII.
In Sachen Schnecken bin ich Spezialist.
Ich kenn ihr Verhalten und Aussehen ziemlich gut
und studiere sie gerne, denn sie können nicht so
schnell entweichen,hihi !*
Du hast Recht:
Es handelt sich tatsächlich um eine Konchoide des Kreises,
bei der der Pol auf dem Ausgangskreis liegt.
Solche Konchoiden heißen
Pascalsche Schnecken, nach Etienne Pascal, dem Vater des
grossen Mathematikers und Philosophen Blaise Pascal.
Die Aufgabe lässt sich allerdings ohne dieses Vorwissen lösen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 773
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 20:45: |
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Hi,
also ich hab mir die Schnecke mal gezeichnet, daraus ergibt sich für c), das diese Tangente eine Parallele zur y-Achse ist.
Meine Berechnungen sagen, das die Tangente heißt:
x=-1/Ö32 [~x=-0,17678] Sie berührt die Kurve genau einmal im 2. und einmal im 3. Quadranten!
Aber der Flächeninhalt macht mir sorgen, ich hab bis jetzt keinen Weg gefunden, die unterscheidlichen Flächinhalte getrennt zu berechnen. Die Komplette Kurve müsste A=2p einschliesen. Kannst du mal einen weiteren Hinweis geben ?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2145
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 21:13: |
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Hi Ferdi
Die vertikale Tangente stimmt;ihre Gleichung lautet:
x ~ -0,1767766953
Für die Flächen der Schlaufen kann ich Dir leider erst morgen nähere Auskunft geben.
Es geht unm die richtigen Grenzen der Integrale !
eimal: t=0..1/4 *Pi für doie halbe erste Fläche ...;probiere es !
mfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 774
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 23:10: |
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Ok, ich habs mal probiert,
scheint zu klappen!
d) F1=(2p-6)/4 [~0,0708]
e) F2=(6p+6)/4 [~6,2124]
f) (6p+6)/4 - 3* (2p-6)/4 = 6
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2146
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 08:27: |
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Hi allerseits,
Man kann die Aufgabe LF XXIII etwa so lösen:
ad a)
phi = 0 führt auf den Punkt P1 (sqrt(2)–1 / 0)
phi = ¼ Pi führt auf den Punkt P2 (0 / 0)
phi = Pi führt auf den Punkt P3 (sqrt(2)+1 / 0)
Beachte: für phi = Pi wird r negativ;
Zusammen mit dem Phasenwinkel Pi kommen wir
mit P3 auf die positive x-Achse !
ad b)
phi = ¼ Pi führt auf den Punkt P2 (0 / 0)
phi = ½ Pi führt auf den Punkt P4 (0 /-1)
phi = 3/2 Pi führt auf den Punkt P5 (0 / 1)
ad c)
Wir greifen zurück auf eine Methode,
die wir bei der Aufgabe LF XIX
erfolgreich angewendet haben.
Wir gehen aus von der Darstellung
der x-Koordinate mittels Polarkoordinaten,
berechnen das Differential dx und setzen es null.
x = r cos(phi)
dx = cos(phi) * dr – r sin(phi) * d(phi) = 0
daraus
dr/d(phi) = r* tan(phi)………………………………..(1)
Jetzt verwenden wir die Gleichung der Kurve
in Polarkoordinaten
r = sqrt(2)* cos(phi) – 1
daraus :
dr/d(phi) = - sqrt(2) * sin(phi)………………… (2)
Zusammen mit (1) erhalten wir:
[sqrt(2)*cos(phi)–1]*tan(phi) = - sqrt(2)*sin(phi)
also
sqrt(2)*cos(phi)–1 = - sqrt(2)*cos(phi) oder
2*sqrt(2)*cos(phi) = 1
Daraus:
cos(phi) = 1/(2*sqrt(2)) und
r = sqrt(2)* cos(phi) – 1 = ½ - 1 = - ½
Wir suchen x und erhalten mit
x = r cos(phi) = - 1/8 * sqrt(2) die Gleichung der gesuchten
vertikalen Tangente.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2147
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 09:03: |
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Hi allerseits,
Lösung der Aufgabe XXIII ; Fortsetzung
ad d)
Nota bene: Wir setzen für das Folgende a= 1 ein !
Beachte:
Die gesuchte Fläche F1 st symmetrisch zur x-Achse.
Wir berechnen zuerst die halbe Fläche G1, welche sich
oberhalb der x-Achse befindet.
Eine stille Meditation führt auf die Grenzen des Integrals:
untere Grenze phi = 0, obere Grenze phi = ¼ Pi, heihei!
Der Integrand für G1 lautet
½ r^2 = ½ [sqrt(2)*cos(phi)-1]^2
Das Resultat ist
G1 = ¼ Pi – ¾, woraus
F1 = ½ Pi - 3/2
°°°°°°°°°°°°°°°
folgt.
Beachte:
Die gesuchte Fläche F2 st symmetrisch zur x-Achse.
Wir berechnen zuerst die halbe Fläche G2, welche sich
oberhalb der x-Achse befindet.
Eine stille Meditation führt auf die Grenzen des Integrals:
untere Grenze phi = Pi, obere Grenze phi=7/4*Pi, olà !
Der Integrand für G2 lautet
½ r^2 = ½ [sqrt(2)*cos(phi)-1]^2
Das Resultat ist
G2 = ¾ Pi + ¾, woraus
F2 = 3/2 * Pi + 3/2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
folgt.
Das Übrige ergibt sich für den geneigten und
zugeneigten Leser von selber!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 775
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 12:45: |
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Hi megamath,
einen Nachfrage noch:
Mich bringen deine Grenzen beim zweiten Integral einwenig durcheinander, bei mir führen nach kurzer Medidation auch [p/4....p] zum Ziel! Worin besteht hier der Unterschied?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2149
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juni, 2003 - 08:13: |
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Hi Ferdi,
Ich danke Dir für Deine Mithilfe bei der Lösung der
Aufgaben aus der neckischen Serie
„lockere Folge“ ;
es waren immerhin zwei Dutzend Probleme, die uns und
hoffentlich viele Andere beschäftigt haben.
„semper aliquid haeret“ , sagt der Lateiner;
wir sagen: „es bleibt immer etwas hängen“.
Ich muss das Unternehmen für längere Zeit abbrechen,
da ich zeitlich anderweitig stark in Anspruch genommen
werde.
Bemerkung zur Flächenberechnung der grossen Schlinge:
Ich habe den Teil unterhalb der Polarachse, Du denjenigen,
der oberhalb liegt, berechnet.
Hauptsache: wir haben dasselbe (richtige) Resultat!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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