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sven (sven23)
Junior Mitglied
Benutzername: sven23
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 11:25: | 
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Hallo,
ich habe da wieder eine Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet:
Es seien -1<a<1 und R>0. Wenden Sie den Cauchyschen Integralsatz an auf das Dreieck mit den Ecken 0, R, R*(1 + ia) und die Funktion f(z) = exp(-z^2). Zeigen Sie: Bei festem a konvergiert das Integral über gamma (= Strecke von R nach R(1+ia) für R gegen unendl. gegen 0, und nach Grenzübergang R gegen unendlich liefert die Zerlegung in Real- und Imaginärteil
Integral(0 bis 00): e^(-(1-a^2)*t^2) * cos(2*a*t^2) dt = sqrt(pi)/(2*(1+a^2))
Integral(0 bis 00): e^(-(1-a^2)*t^2) * sin(2*a*t^2) dt = sqrt(pi)*a/(2*(1+a^2))
Benutzen Sie diese Resultate zur Bestimmung der Fresnelschen Integrale:
Int(0 bis 00): cos(u)/sqrt(u) du = Int(0 bis 00): sin(u)/sqrt(u) du = sqrt(pi/2)
Ich hoffe, jemand weiß Rat. |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 602
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 18:24: |
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Sven,
Ich denke,so kommst Du zum Ziel: Bezeichne die Teilstücke bzw. von 0 bis R, R bis R(1+ai), 0 bis R(1+ai) bzw. mit (1),(2),(3), die entsprechenden Wegintegrale von f(z) mit Jk, k=1,2,3. Nach Cauchy ist dann
J3 = J1+J2.
Es ist J1 = ò0 R exp(-x2)dx,
und bekanntlich gilt
ò0 ¥ exp(-x2)dx = sqrt(p)/2.
Längs (2) gilt z= R + taRi , 0£t£1.
Also
J2=ò0 1 exp{-(1+a2t2}R2*
exp(2aR2ti)dt.
Daraus folgt leicht die Abschätzung
|J2| < exp(-R2).
Längs (3) schreiben wir z= (1+ai)t , 0£t£R
und haben nach Grenzübergang R->¥ noch das
Integral
ò0 ¥ exp{-(1-a2)t2}*exp(-2ait2)dt
mfG Orion
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sven (sven23)
Junior Mitglied
Benutzername: sven23
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 08:13: |
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Sorry, dass ich erst so spät auf Deine Hinweise reagiere. Wie immer vielen Dank. Du hast mir wirklich sehr geholfen.
mfg Sven |
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