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Koordinaten u. darstellende Matritzen

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Tobias (tobie)
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Neues Mitglied
Benutzername: tobie

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 14:06:   Beitrag drucken

Hi Ihr!
Bin bei folgender Aufgabe völlig verloren... Wäre echt super nett, wenn mir jmd. helfen könnte! Ich gebe es offen zu: ich hab keinen Plan! Asche auf mein Haupt!

Danke im Vorraus!

T.

Und hier die Aufgabe:

Man kann C (=komplexe Zahlen) als Vektorraum über dem Körper IR interpretieren. Der Vektorraum hat
dann die Dimension 2 und als Standardbasis
B0:= {1,i} Sei gegeben die Abbildung:
J : C --> C ; J(z) := iz
(a) Zeigen Sie, dass J eine lineare Abbildung ist.
(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von J bzgl. der Standardbasis B0.
(c) Nun sei die Basis B1 := {2-i,2+i} gegeben. Bestimmen Sie die darstellende Matrix von J bzgl. B1.
(d) Wie transformiert man die darstellende Matrix einer beliebigen linearen Abbildung L: C --> C von Basis B1 nach B0?
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 601
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 15:38:   Beitrag drucken

Tobias,
Denkanstoss:
C ist als R-Vektorraum isomorph zum Vektorraum R2. Den komplexen Zahlen 1 bzw. i
entspricht die Standardbasis e1=(1,0)t bzw.
e2=(0,1)t, der komplexen Zahl z=x+yi der
Koordinatenvektor (x,y)t=xe1+ye2.

Die Linearität von J ist klar: J(az1+bz2)=
aJ(z1}+bJ(z2), a,b€R. Ferner gilt :

J(1)=i=e2, J(i)=-1=-e1

Die Spalten der Abbildungsmatrix lauten also (0,1)t
und (-1,0)t.

Der Basis B1 entspricht in R die Basis (2,-1)t, (2,1)t, und dies sind die Spalten der Abbildungsmatrix T, welche B0 in B1 überführt.

In der linearen Algebra lernt man nun: Ist A die
Matrix einer linearen Abbildung f bezüglich der Basis
B0, so ist TAT-1 die Matrix von f bezüglich
B1


mfG Orion

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