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Tobias (tobie)
Neues Mitglied Benutzername: tobie
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 14:06: |
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Hi Ihr! Bin bei folgender Aufgabe völlig verloren... Wäre echt super nett, wenn mir jmd. helfen könnte! Ich gebe es offen zu: ich hab keinen Plan! Asche auf mein Haupt! Danke im Vorraus! T. Und hier die Aufgabe: Man kann C (=komplexe Zahlen) als Vektorraum über dem Körper IR interpretieren. Der Vektorraum hat dann die Dimension 2 und als Standardbasis B0:= {1,i} Sei gegeben die Abbildung: J : C --> C ; J(z) := iz (a) Zeigen Sie, dass J eine lineare Abbildung ist. (b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von J bzgl. der Standardbasis B0. (c) Nun sei die Basis B1 := {2-i,2+i} gegeben. Bestimmen Sie die darstellende Matrix von J bzgl. B1. (d) Wie transformiert man die darstellende Matrix einer beliebigen linearen Abbildung L: C --> C von Basis B1 nach B0? |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 601 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 15:38: |
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Tobias, Denkanstoss: C ist als R-Vektorraum isomorph zum Vektorraum R2. Den komplexen Zahlen 1 bzw. i entspricht die Standardbasis e1=(1,0)t bzw. e2=(0,1)t, der komplexen Zahl z=x+yi der Koordinatenvektor (x,y)t=xe1+ye2. Die Linearität von J ist klar: J(az1+bz2)= aJ(z1}+bJ(z2), a,b€R. Ferner gilt : J(1)=i=e2, J(i)=-1=-e1 Die Spalten der Abbildungsmatrix lauten also (0,1)t und (-1,0)t. Der Basis B1 entspricht in R die Basis (2,-1)t, (2,1)t, und dies sind die Spalten der Abbildungsmatrix T, welche B0 in B1 überführt. In der linearen Algebra lernt man nun: Ist A die Matrix einer linearen Abbildung f bezüglich der Basis B0, so ist TAT-1 die Matrix von f bezüglich B1
mfG Orion
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