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LF XVIII: Flächenschwerpunkt und Rota...

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2118
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 20:41:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hier kommt sie, die Nummer XVIII der lockeren Folge,
wiederum aus der Analysis !*
Da ich morgen ganztägig landesabwesend sein werde,
kommt Nr.XVIII schon jetzt.

Diese Aufgabe lautet:
Der im ersten und vierten Quadrant liegende Teil
der Kurve a y^2 = x^2 ( a – x ) mit a > 0,
eine Schlaufe (engl.loop), schließt das Gebiet G ein.

a)
Berechne die Koordinaten des Flächenschwerpunktes
S von G.

b)
Berechne das Volumen V des Körpers, der durch
Rotation der Schlaufe um die Gerade y = x,
eine Kurventangente in O, entsteht.

Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 749
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 13:16:   Beitrag drucken

Hallo,

a) Flächenschwerpunkt:
x = (4/7)a
y = 0

mfg
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 750
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 14:33:   Beitrag drucken

Hallo nochmal ,

mit der Guldinschen Regel müsste sich dann für b) folgendes Rotationsvolumen ergeben:

V=(Ö2*32*a³*p)/(105)

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2119
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 19:52:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Beide Resultate sind richtig; bravo!
Sollen wir eine Herleitung vorführen ?

MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 754
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 21:01:   Beitrag drucken

Gerne,

wobei ich Teil b) übernehmen möchte! Mich würde nämlich deine Lösung für Teil a) interessieren, ich hab mich da mit ganz üblen Integralen rumgeschlagen!!

Also b)

Wir benutzen hier die 1.Guldinsche Regel! Ich denke sie ist bekannt!

Wir haben die Fläche der Schlaufe F=(8/15)*a², wir haben aus Aufgabe a) auch den Flächenschwerpunkt: S { (4a/7) | 0 }, wir benötigen also noch den Weg, den der Schwerpunkt bei der Rotation zurücklegt, die ist ganz einfach der Abstand des Punktes von der Rotationsachse(G) y=x! Bringen wir sie in HNF!

(x-y)/Ö2=0 , setzen wir hier die Koordinaten ein erhalten wir d(S,G)=(Ö2*2*a)/7 , et voila, wir setzen ein und vereinfachen:

V=2*p*F*d
V=(Ö2*32*p*a³)/105

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2122
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 14:13:   Beitrag drucken

Hi

Meine Lösung der Teilaufgabe a) geht so:
Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt S
der Schlaufe auf der x-Achse.
Wir berechnen die Abszisse xS von S als Quotient
zweier Integrale:
xS = J1 / J2,
mit
J1 = 2* int [(x y(x)] dx, untere Grenze 0, obere Grenze a,
J2 = 2* int [(y(x)] dx, untere Grenze 0, obere Grenze a,
wobei
y = 1 / sqrt (a) * x * sqrt ( a – x ) gilt.
J2 stellt die Fläche der Schlaufe dar.

Bei der Auswertung dieser Integrale empfiehlt sich die
Substitution
a - x = u
dx = - du.
Die Grenzen sind dabei zu vertauschen:
Im u-Integral ist a die untere, 0 die obere Grenze.
Wir lassen nun den Faktor – 1 weg und wählen
gleichzeitig u = 0 als untere, u = a als obere Grenze;
damit ist die Kirche wieder im Dorf.

J2, das einfachere der beiden Integrale,
sieht nach diesem Prozedere so aus:

J2 = 2/sqrt(a) * int [ (a-u)* sqrt (u)] du ……………………………(1)

und J1 so:

J1 = 2/sqrt(a) * int [ (a-u)^2*sqrt (u)] du ……………………….(2)

Für beide bestimmten Integrale gelten die oben
genannten Grenzen für u.

In (2) wird man (a-u)^2 vor dem Integrieren
in der Form a^2 – 2 au + u^2 schreiben.

Die Resultate sind:
J1 = 32/105 * a^3 ;
J2 = A = 8/15 * a^2 (A: Fläche der Schlaufe).

Damit erhalten wir
xS = J1/J2 = 4/7 a
****************

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath










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