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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2118 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 20:41: |
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Hi allerseits Hier kommt sie, die Nummer XVIII der lockeren Folge, wiederum aus der Analysis !* Da ich morgen ganztägig landesabwesend sein werde, kommt Nr.XVIII schon jetzt. Diese Aufgabe lautet: Der im ersten und vierten Quadrant liegende Teil der Kurve a y^2 = x^2 ( a – x ) mit a > 0, eine Schlaufe (engl.loop), schließt das Gebiet G ein. a) Berechne die Koordinaten des Flächenschwerpunktes S von G. b) Berechne das Volumen V des Körpers, der durch Rotation der Schlaufe um die Gerade y = x, eine Kurventangente in O, entsteht. Viel Erfolg wünscht H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 749 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 13:16: |
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Hallo, a) Flächenschwerpunkt: x = (4/7)a y = 0 mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 750 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 14:33: |
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Hallo nochmal , mit der Guldinschen Regel müsste sich dann für b) folgendes Rotationsvolumen ergeben: V=(Ö2*32*a³*p)/(105) mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2119 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 19:52: |
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Hi Ferdi, Beide Resultate sind richtig; bravo! Sollen wir eine Herleitung vorführen ? MfG H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 754 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 21:01: |
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Gerne, wobei ich Teil b) übernehmen möchte! Mich würde nämlich deine Lösung für Teil a) interessieren, ich hab mich da mit ganz üblen Integralen rumgeschlagen!! Also b) Wir benutzen hier die 1.Guldinsche Regel! Ich denke sie ist bekannt! Wir haben die Fläche der Schlaufe F=(8/15)*a², wir haben aus Aufgabe a) auch den Flächenschwerpunkt: S { (4a/7) | 0 }, wir benötigen also noch den Weg, den der Schwerpunkt bei der Rotation zurücklegt, die ist ganz einfach der Abstand des Punktes von der Rotationsachse(G) y=x! Bringen wir sie in HNF! (x-y)/Ö2=0 , setzen wir hier die Koordinaten ein erhalten wir d(S,G)=(Ö2*2*a)/7 , et voila, wir setzen ein und vereinfachen: V=2*p*F*d V=(Ö2*32*p*a³)/105 mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2122 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 14:13: |
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Hi Meine Lösung der Teilaufgabe a) geht so: Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt S der Schlaufe auf der x-Achse. Wir berechnen die Abszisse xS von S als Quotient zweier Integrale: xS = J1 / J2, mit J1 = 2* int [(x y(x)] dx, untere Grenze 0, obere Grenze a, J2 = 2* int [(y(x)] dx, untere Grenze 0, obere Grenze a, wobei y = 1 / sqrt (a) * x * sqrt ( a – x ) gilt. J2 stellt die Fläche der Schlaufe dar. Bei der Auswertung dieser Integrale empfiehlt sich die Substitution a - x = u dx = - du. Die Grenzen sind dabei zu vertauschen: Im u-Integral ist a die untere, 0 die obere Grenze. Wir lassen nun den Faktor – 1 weg und wählen gleichzeitig u = 0 als untere, u = a als obere Grenze; damit ist die Kirche wieder im Dorf. J2, das einfachere der beiden Integrale, sieht nach diesem Prozedere so aus: J2 = 2/sqrt(a) * int [ (a-u)* sqrt (u)] du ……………………………(1) und J1 so: J1 = 2/sqrt(a) * int [ (a-u)^2*sqrt (u)] du ……………………….(2) Für beide bestimmten Integrale gelten die oben genannten Grenzen für u. In (2) wird man (a-u)^2 vor dem Integrieren in der Form a^2 – 2 au + u^2 schreiben. Die Resultate sind: J1 = 32/105 * a^3 ; J2 = A = 8/15 * a^2 (A: Fläche der Schlaufe). Damit erhalten wir xS = J1/J2 = 4/7 a **************** Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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