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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2116
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 16:13: | 
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Hi allerseits
Hier kommt sie, die Nummer XVII der lockeren Folge,
nochmals aus der Analysis.
Von den Kreislinien x^2 + y^2 = a^2 und
x^2 + y^2 = a x (a>0) betrachten wir diejenigen Teile,
die ganz im ersten Quadranten liegen.
Diese Bögen, ein Viertels- und ein Halbkreis,
begrenzen ein schnabelförmiges Gebiet, engl. beak
(Raubvogelschnabel).
Man ermittle die Koordinaten des Schwerpunktes S
von G und die Volumina V1, V2 der Körper, die entstehen,
wenn G um die x-Achse bzw. um die y-Achse rotiert.
Viel Erfolg !
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 746
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 17:23: |
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Hi,
meine Vermutung für das Rotationsvolumen um die x-Achse:
V(Gx)=(a³*p)/2
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2117
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 19:10: |
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Hi Ferdi,
Deine Vermutung trifft ins Schwarze !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 748
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 11:40: |
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Hallo allerseits,
ich glaube nun den Rest auch berechnet zu haben!
Flächenschwerpunkt mit den Koordinaten:
x = a*(16-3p)/(6p)
y = 2a/p
Rotataionsvolumen um die y-Achse demnach:
Vy=[a³*p*(16-3p)]/24
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2120
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 20:00: |
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Hi Ferdi,
yS stimmt;
für xS bekomme ich:
xS = 13 a / (6*Pi) , an der 13 im Zähler halte ich fest wie eine Klette.
Die bringt Glück, mindestens das Volumen
V2 = 13 / 24 * Pi a^3.
Bitte nachrechnen ( Verwende an geeigneter Stelle ein Torusvolumen !)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 753
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 21:00: |
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Hi megamath,
ich halte aber auch (noch) an meinen Ergebnissen fest, hier meine Rechnung:
Ich habe xS aus der Guldinschen Regel berechnet, wonach Vy=2*p*xS*F , wobei F der Flächeninhalt ist. Also fehlt uns noch Vy und F.
F ergibt sich als Differenz des Viertel(Vk)- und des Halbkreises(Hk):
F(Vk)=(p*a²)/4
F(Hk)=(p*a²)/8
Also F=(p*a²)/8
Nun Vy. Hier habe ich überlegt: das Volumen ergibt sich als Differenz der Halbkugel(Hk) des Viertelkreises und Torus(T)!
V(Hk)=(2*a³*p)/3
So nun der Torus: Der Meridianschnitt ist ein der schon erwänhte Halbkreis mit F=(a²*p)/8, der Schwerpunkt der Fläche legt a/2 zurück, also folgt
V(T)=(a³*p²)/8
Also: Vy=V(Hk)-V(T)
Vy=(2*a³*p)/3 - (a³*p²)/8
Vy=(16*a³*p - 3*a³*p²)/24
Vy=(a³*p*(16-3p))/24
Mein Programm, dass ich benutze unterstütz diese Variante sogar!
Diesen Wert dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt:
xS=Vy/(2*p*F)
xS=(a*(16-3p))/(6p)
Vielleicht findest du meinen Fehler, sodass wir auf einen gemeinsammen Nenner kommen!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 755
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 21:41: |
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Wo wir schon dabei sind, hier mein Weg für Vx und yS!
Vx ergibt sich als Differenz der Volumina der Halbkugel(Vv) des Viertelkreises und der Kugel(Vk) des Halbkreises!
V(Vv)=(2*a³*p)/3
V(Vk)=(a³*p)/6
Vx = (a³*p)/2
yS ergibt dann wieder aus Vx=2*p*yS*F, wobei wir F ja schon als (a²*p)/8 berechnet hatten. Formel umstellen und vereinfachen:
yS=2a/p!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2121
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 08:35: |
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Hi Ferdi,
Deine Lösung ist korrekt; ein Fehler hat sich
bei MIR eingenistet und zwar ist ein Faktor Pi beim
Torusvolumen verloren gegangen und hat sich
offenbar in Luft aufgelöst!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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