| Autor |
Beitrag |
    
Manfred (madox)
Mitglied
Benutzername: madox
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 09:24: | 
|
Kann mir jenamd bei diesem BSP helfen?
Für a>0 ist x |-> x^a stetig für x>=0
Madox |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 09:39: |
|
Moin Manfred,
Das hänt natürlich stark davon ab, wie eure Definition von Stetigkeit lautet. Ich denke mal, dass ihr definiert habt:
f ist bei x=b stetig :<=> Für jede Folge (b_n) mit lim b_n=b gilt lim f(b_n)=f(b)
Sei also b_n eine beliebige Folge mit b>=0.
Für die Folge der zugehörigen Funktionswerte erhält man:
(b_1)^a, (b_2)^a, (b_3)^a,...
Jetzt hoffe ich mal, dass ihr schon gezeigt habt, dass diese Folge konvergiert (das ergit sich mit dem dritten GW-Satz). Diese Folge hat den Grenzwert b^a=f(b). Damit ist alles gezeigt.
Gruß, DULL
|
Manfred (madox)
Mitglied
Benutzername: madox
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 11:01: |
|
Danke für deine Hilfe!!
Könntest du mir aber bitte noch erklären wie du auf den Grenzwert b^a= f(b) kommst?
DANKE!
|
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 12:04: |
|
Betrachte zuerst a element aus N:
Wenn ich z.B. jedes Folgenglied einer Ursprungsfolge quadriere, dann ist der Grenzwert dieser neuen Folge das Quadrat des Grenzwertes der alten Folge. Dies ergibt sich direkt aus dem dritten Grenzwertsatz:
Sei f(x)=x^2:
lim(f(b_n))= lim(b_n^2)=lim(b_n*b_n)=lim(b_n)*lim(b_n)=b*b=b^2
Allgemein geht es ganz analog.
Wenn a ein Bruch ist kommst du leicht mit dem vierten Grenwertsatz auf das gleiche Ergebnis. Für a Element aus R dürfte das etwas schwieriger sein, ist aber auch möglich.
So ergibt sich:
lim f(b_n)= lim (b_n)^a= b^a
Dies ist nun genau f(b) und die Stetigkeit ist gezeigt.
Gruß, DULL |
Manfred (madox)
Mitglied
Benutzername: madox
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 12:12: |
|
Vielen Dank für deine Hilfe!!!! Jetzt ist alles klar 
|
