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Manuel (batmanu)
Mitglied
Benutzername: batmanu
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 15:21: | 
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Hallo !
Ich könnte ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe gebrauchen:
Es sei A E IR (3x3) und es gelte A²=A und Rang A=2. Zeigen Sie: Es gibt eine invertierbare Matrix B E IR (3x3), so dass B(hoch -1)AB =
in Spalten (1;0;0),(0;1;0),(0;0;0) (3x3 Matrix).
Hinweis:
a:IR³-->IR³, a(x)=A*x ist die "Projektion" auf Bild a.
Danke ! |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 18:45: |
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Manuel,
Seien a,b,c die Spaltenvektoren von A, ferner
e1 = (1,0,0)t, e2=(0,1,0)t. Dann
gilt
Ae1=a ==> Aa=a, d.h. a ist
Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Dasselbe
gilt für b. Da Rang(A)=2, so kann man o.B.d.A.
annehmen, dass a und b linear unabhängig
sind , c ist dann also eine Linearkombination von
diesen : c=ra+sb. Mit u:= (r,s,-1)t
heisst das Au=0. a,b,u sind linear unabhängig, denn aus
u=la+mb würde sich durch
Multiplikation mit A ein Widerspruch zur linearen
Unabhängigkeit von a,b ergeben. Die Matrix B
mit den Spalten a,b,u ist daher regulär, und es gilt
AB = BD mit D = diag(1,1,0) ==>
B-1AB = D.
mfG Orion
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Manuel (batmanu)
Mitglied
Benutzername: batmanu
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 10:04: |
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Vielen Dank !
Aber was heißt diag(1,1,0) ?
MfG
Manuel |
Panther (panther)
Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 21:05: |
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diag heißt, daß du in einer Matrix diagonal von links oben nach rechts unten 1,1,0 stehen hast.
Schaut dann so aus (x sind beliebige Zahlen):
( 1 x x
x 1 x
x x 0 ) |
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