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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2094 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 17:33: |
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Hi allerseits, Hier kommt sie, die Nummer X der lockeren Folge ! a) Es ist ein bestimmtes Integral J1 zu berechnen; untere Grenze 0 , obere Grenze Pi; Integrand f(x) = x / (1 + sin x). b) Es ist ein bestimmtes Integral J2 zu berechnen; untere Grenze ¼ Pi, obere Grenze ½ Pi; Integrand f(x) = 1 /[sin x *(1+sin x)] Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 730 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 23:36: |
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Ich erhalte nach langer Vatertagswanderung und noch längerer Rechnung: a)p (ein Resultat das die Freunde der Zahl PI erfreuen wird) b) 1-[Ö2+ln(Ö2-1)] ~ 0,46716 mfg (Beitrag nachträglich am 30., Mai. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2095 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 07:14: |
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Hi Ferdi, Deine Vatertagswanderung hat Dir mathematischen Erfolg gebracht. Beide Resultate sind richtig und cool dargestellt. ad a) Dieses Resultat war vorbestimmt als Morgengabe für die Freunde der Zahl Pi in Wien!* Bald kommt LF XI,wieder ein Integral. MfG H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2098 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 12:17: |
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Hi , Es wird nützlich sein, wenn ich eine mögliche Art für die Berechnungen dieser beiden Integrale hier vorführe. Als Vorbereitung ermitteln wir eine Stammfunktion zu der folgenden gegebenen Funktion h(z) =1 / (1+ sin z)] in der Variablen z. Wir werden übungshalber zwei solche Funktionen H1(z) und H2(z) berechnen. Bekanntlich unterscheiden sich H1(x) und H2(x), wenn wir richtig rechnen, und das sei unterstellt, nur durch eine additive Konstante. 1.Methode: Berechnung von H1: Wir erweitern den Bruch, der h(z) darstellt, mit (1 - sin z); es entsteht: h(z) = (1 – sin z) / (cos z)^2 = = 1 / (cos z)^2 – sin z / (cos z)^2; jetzt integrieren wir gliedweise; es kommt: H1(z) = tan z – 1 / cos z…………………………(1) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 2.Methode: Berechnung von H2: Wir substituieren t = tan (½ z), daraus folgt für die Differentiale dt, dx: dt = ½ (1+t^2) dz, ferner sin z = 2 t / (1 + t^2) Der Integrand j(t) in der Variablen t lautet: j(t) = 2/(1+t)^2; integriert: H2(t)= -2/(1+t) = -2 / [1 + (tan ½ z) ]…………..(2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Anmerkung es gilt die Identität: H1(x) = H2(x) + 1 (für alle x) *************** Nun lösen wir die gestellten Aufgagen ad a) Wir substituieren x = Pi – z ; daraus folgt: dx = - dz und die Umkehr der Grenzen; es entsteht der Reihe nach: J1= - int [ (Pi-z) / (1+ sin z)]* dz , untere Grenze Pi, obere Grenze 0; J1 = int [ (Pi-z) / (1+ sin z)]* dz , untere Grenze 0, obere Grenze Pi; Damit wird J1 zerlegt (rechts taucht als Summand -J1 auf, hihi): J1 = int [ Pi / (1+ sin z)]* dz - J1, Daraus folgt: 2 J1= Pi * int [ 1 / (1+ sin z)] * dz , Grenzen des Integrals: unten 0, oben Pi. Setzt man diese Grenzen in der Formel (1) ein, so entsteht: int [ 1 / (1+ sin z)] * dz = 0 - (-1) – [0 - 1] = 2 mithin: J1 = Pi °°°°°°° ad b) Wir zerlegen den Integranden f(x) = 1 / [sin x * (1+ sin x )] so: f(x) = 1 / sin x - 1 / (1+sin x) und integrieren gliedweise; das erste Integral ist wohlbekannt, das zweite geht gemäß Formel (2) der Vorbereitung . Wir erhalten zur Ermittlung von J2 die folgende Stammfunktion: ln [tan (½ x) ] + 2 / [1 + tan (½ x) ]; nun setzen wir die Grenzen ein: untere Grenze ¼ Pi, obere Grenze ½ Pi; es entsteht als Resultat: J2 = 1 – ln (sqrt(2) -1) -2 / sqrt(2) = 1 – sqrt(2) – ln (sqrt(2) -1) Wir haben von der bekannten Tatsache: tan(1/8 Pi )= sqrt(2) -1 Gebrauch gemacht. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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