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LF X : 2 bestimmte Integrale mit trig...

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2094
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 17:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Hier kommt sie, die Nummer X der lockeren Folge !

a)
Es ist ein bestimmtes Integral J1 zu berechnen;
untere Grenze 0 , obere Grenze Pi;
Integrand f(x) = x / (1 + sin x).

b)
Es ist ein bestimmtes Integral J2 zu berechnen;
untere Grenze ¼ Pi, obere Grenze ½ Pi;
Integrand f(x) = 1 /[sin x *(1+sin x)]

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 730
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 23:36:   Beitrag drucken

Ich erhalte nach langer Vatertagswanderung und noch längerer Rechnung:

a)p (ein Resultat das die Freunde der Zahl PI erfreuen wird)

b) 1-[Ö2+ln(Ö2-1)] ~ 0,46716

mfg

(Beitrag nachträglich am 30., Mai. 2003 von tl198 editiert)
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2095
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 07:14:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Deine Vatertagswanderung hat Dir mathematischen Erfolg gebracht.
Beide Resultate sind richtig und cool dargestellt.

ad a)
Dieses Resultat war vorbestimmt
als Morgengabe für die Freunde der Zahl Pi in Wien!*
Bald kommt LF XI,wieder ein Integral.

MfG
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2098
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 12:17:   Beitrag drucken

Hi ,

Es wird nützlich sein, wenn ich eine mögliche
Art für die Berechnungen dieser beiden Integrale
hier vorführe.

Als Vorbereitung ermitteln wir eine Stammfunktion
zu der folgenden gegebenen Funktion
h(z) =1 / (1+ sin z)] in der Variablen z.
Wir werden übungshalber zwei solche Funktionen
H1(z) und H2(z) berechnen.
Bekanntlich unterscheiden sich H1(x) und H2(x),
wenn wir richtig rechnen, und das sei unterstellt,
nur durch eine additive Konstante.

1.Methode:
Berechnung von H1:
Wir erweitern den Bruch, der h(z) darstellt, mit
(1 - sin z); es entsteht:
h(z) = (1 – sin z) / (cos z)^2 =
= 1 / (cos z)^2 – sin z / (cos z)^2;
jetzt integrieren wir gliedweise; es kommt:
H1(z) = tan z – 1 / cos z…………………………(1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Methode:
Berechnung von H2:
Wir substituieren t = tan (½ z),
daraus folgt für die Differentiale dt, dx:
dt = ½ (1+t^2) dz, ferner sin z = 2 t / (1 + t^2)
Der Integrand j(t) in der Variablen t lautet:
j(t) = 2/(1+t)^2; integriert:
H2(t)= -2/(1+t) = -2 / [1 + (tan ½ z) ]…………..(2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Anmerkung
es gilt die Identität:
H1(x) = H2(x) + 1 (für alle x)
***************

Nun lösen wir die gestellten Aufgagen
ad a)
Wir substituieren
x = Pi – z ; daraus folgt: dx = - dz
und die Umkehr der Grenzen; es entsteht der Reihe nach:
J1= - int [ (Pi-z) / (1+ sin z)]* dz ,
untere Grenze Pi, obere Grenze 0;
J1 = int [ (Pi-z) / (1+ sin z)]* dz ,
untere Grenze 0, obere Grenze Pi;
Damit wird J1 zerlegt
(rechts taucht als Summand -J1 auf, hihi):
J1 = int [ Pi / (1+ sin z)]* dz - J1, Daraus folgt:
2 J1= Pi * int [ 1 / (1+ sin z)] * dz ,
Grenzen des Integrals: unten 0, oben Pi.
Setzt man diese Grenzen in der Formel (1) ein,
so entsteht:
int [ 1 / (1+ sin z)] * dz = 0 - (-1) – [0 - 1] = 2
mithin:
J1 = Pi
°°°°°°°

ad b)
Wir zerlegen den Integranden
f(x) = 1 / [sin x * (1+ sin x )] so:
f(x) = 1 / sin x - 1 / (1+sin x) und integrieren gliedweise;
das erste Integral ist wohlbekannt, das zweite geht gemäß
Formel (2) der Vorbereitung .
Wir erhalten zur Ermittlung von J2 die folgende Stammfunktion:
ln [tan (½ x) ] + 2 / [1 + tan (½ x) ];
nun setzen wir die Grenzen ein:
untere Grenze ¼ Pi, obere Grenze ½ Pi; es entsteht als Resultat:
J2 = 1 – ln (sqrt(2) -1) -2 / sqrt(2) = 1 – sqrt(2) – ln (sqrt(2) -1)

Wir haben von der bekannten Tatsache:
tan(1/8 Pi )= sqrt(2) -1 Gebrauch gemacht.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath





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