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Beitrag |
    
Matthias
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 14:02: | 
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Mein Problem: Ich befinde mich auf unbekanntem Gebiet. Von meinem Standpunkt aus kann ich allerdings 3 Festpunkte (z.B. Kirchtürme usw.) anvisieren und die 3 Winkel zwischen diesen ermitteln. Die 3 Festpunkte bilden ein Dreieck, deren 3 Seiten und Winkel bekannt sind (z.B. aus Landkarte). Mein Standpunkt befindet sich entweder in diesem Dreieck oder auch außerhalb. Wie kann ich nun später meinen Standpunkt genau ermitteln ? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 21:55: |
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Hi Matthias ,
Deutung Deiner Aufgabe.
Rückwärtseinschneiden auf drei Punkte
(Snellius-Pothenotsche Aufgabe)
Willibrord Snellius (1581- 1626 ) löste die Aufgabe als erster,
Pothenot gab 1692 eine zweite Lösung und schliesslich
Heinrich Lambert (1727-1777) eine dritte.
Die Aufgabe lautet
Die gegenseitige Lage dreier Punkte A , B , C der Ebene ist bekannt,
indem die Seitenlängen a = BC , b = AC und der Zwischenwinkel (ACB) = gamma = g bei der Ecke C vorgegeben sind.
Um die Lage eines vierten Punktes D der Ebene zu bestimmen,
werden der Winkel (BDC) = mü = m und der Winkel (ADC ) = nü = n
bestimmt . Die Scheitelpunkte dieser Winkel liegen bei D.
Gesucht werden die drei Abstände
DA= u , DB = v , DC = w
O]
Als Vorbereitung lösen wir das goniometrische Gleichungssystem
sin x / sin y = a / b..............................................................................(1)
x + y = s .............................................................................................(2)
Gegeben : a , b , s ; Ges.: x , y.
Aus Gleichung (1) folgt durch korrespondierende Addition
und Subtraktion:
[ sin x + sin y ] / [ sin x - sin y ] = ( a + b ) / ( a - b )
also mittels bekannter Umformungen:
[2 sin {(x+y) / 2}* cos{(x-y) / 2 }] / [2 sin {(x-y / 2}cos{(x+y) / 2}]
= ( a + b ) / ( a - b ); kürzer:
tan { (x+y) / 2} * ctg {(x-y) / 2 } = (a + b) / ( a - b)...
Unter Verwendung der Gleichung (2) wird daraus:
ctg {(x-y) / 2} = [(a+b)/(a-b)] * ctg {s / 2)...........................................(3)
I]
Zurück zum geometrischen Problem des Rückwärtseinschneidens
Wir bezeichnen die noch unbekannten Winkel CBD (Scheitel bei B)
und CAD (Scheitel bei A) mit x bezw. y.
Wir ermitteln nun die Summe der Innenwinkel im Viereck ACBD
und erhalten die Gleichung:
x + y + g + m + n = 360°, also:
x + y = 360° - (g + m + n )........................................................................(4)
Eine zweite Gleichung für x und y erhalten wir mit Hilfe des Sinussatzes , angewendet auf die Teildreiecke CBD und CAD; danach kommt:
sin x = ( sin m / a )* CD , sin y = ( sin n / b ) * CD
Also:
sin x / sin y = ( b * sin m ) / ( a * sin n )...................................................( 5)
Mit den Gleichungen (4) und (5) liegt ein goniometrisches
Gleichungssystem vom Kaliber des unter O] gelösten Systems vor.
Wir übernehmen die Lösung loco citato, indem wir noch den
Hilfswinkel phi mit
tan phi = (a * sin n ) / ( b * sin m ) einführen..............................................(6)
ctg {( x - y) / 2} = [(1+tan(phi) ) / (1 - tan(phi))] * ctg {180° - ½ *(g+m+n)}
Als Schlussresultat können wir schreiben, indem wir
für den Inhalt der eckigen Klammer schreiben:
[....] =tan{45° + phi}
:
ctg {( x - y ) / 2 } = - tan { 45° + phi } * ctg { (g+m+n) / 2 }....................(7)
Aus der Formel (7) wird ½ * ( x - y ) berechnet , dann mit (2)
½ * ( x + y), woraus sich x und y ergeben.
Mit dem Sinussatz gewinnt man alsdann die Strecken DA,DB,DC .
Manöverkritik meinerseits folgt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 09:05: |
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Hi Matthias,
Bemerkung zur Lösung der Pothenotschen Aufgabe
a] Abseitsposition des Punktes D
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°+
Der Punkt D wird unbestimmbar, wenn er auf dem
Umkreis des Dreiecks ABC liegt.
Dieser Kreis wird daher in diesem Zusammenhang
gefährlicher Kreis ( circulus periculosus) genannt.
Ein Rückwärtseinschneiden bei einer solchen
Disposition ist nicht möglich
Rechnerisch zeigt sich das Malaise dadurch, dass
g+m+n = 180° und x+y = 180° gilt,
denn das Viereck ACBD ist ein Kreisviereck.
Der Hilfswinkel phi ist 45°.
In der Gleichung (7) treten somit
ctg (90° ) und tan ( 90° ) auf, sodass die
Form null mal unendlich entsteht.
b] Lösung durch Konstruktion
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Der Punkt D ergibt sich als Schnittpunkt zweier
"Fasskreise" k1 und k2:
k1 "fasst" den Peripheriewinkel m über der Sehne BC,
k2 "fasst" den Peripheriewinkel n über der Sehne AC
Die in a] erwähnte Ausnahmesituation tritt ein , wenn
die Kreise k1 und k2 zusammenfallen, d.h. wenn D
auf dem Umkreis des Basisdreiecks ABC liegt.
c] In praxi
°°°°°°°°°°°
In der Vermessungspraxis lässt man es nicht bei einem
Umgang bewenden, sondern man verwendet mehrere
Ausgangspunkte
Die so ermittelten Punkte D1,D2...ergeben dann mittels
Ausgleichsrechnung den Punkt D in allerbester Näherung.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
matthias
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 10:20: |
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Vielen Dank erstmal, klingt für´s erste ganz schön kompliziert (Skizze wäre nicht schlecht, und zwar für beide Situationen: D innerhalb + D außerhalb des bekannten Dreieckes). Ich werde mich mal daran versuchen ! Danke ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 19:44: |
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Hi Matthias,
In einem älteren Schulbuch habe ich die folgende Aufgabe
Gefunden:
Der Funker eines Flugzeuges gibt nach Notlandung auf See zur Standortbestimmung die Visierwinkel nach den Leuchttürmen durch.
Gemessen: m = 34,55° , n = 50,47°
Bekannt: a = 4650 m, b = 6540 m , g = 110,17°.
Bemerkungen
a) die Bezeichnungen stimmen mit denen im Text überein
b) erwünscht sind die Angaben des Resultates
und aller Zwischenresultate per e-mail an mich
(Nomenklatur wie bisher):
1) x + y , 2) phi 3) x - y 4) x 5) y
6) Abstand u = DA
7) Abstand v = DB
8) Abstand w = DC
Winkel in °, auf 2 Dezimalstellen, Abstände in m ( auf 5 m genau )
c) In der Praxis dienen vorgedruckte Formulare mit Skizzen
als Eselsbrücken.
Mit einem Taschenrechner kann die Aufgabe in weniger als
zehn Minuten bewältigt werden.
d) Wer Lust hat, löst die Aufgabe überschläglich (!) graphisch,
das geht noch schneller.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 09:09: |
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Hi Matthias,
Die Ergebnisse für das numerische Beispiel:
1) x + y = 360° - (110,17°+34,55°++50,47°) =164,81°
2) tan(phi) = [4650 * sin(5o,47°)] / [6540 * sin (34,55°)] = 0,9670
phi = 44,04°
3) m + n + g = 195,19° ; aus
ctg{(x-y)/2} = - tan {(45° + phi) } * ctg{(m+n+g)/2} folgt:
tan{(x-y)/2} = - 1 / [tan{(45°+phi)] * tan{(m+n+g)/2} ,also:
tan{(x-y)/2} = - 1 / tan(89,04°) * tan(97,595) oder:
tan{(x-y)/2} = 1 / tan(89,04°) * tan ( 82,405°),
daraus
(x-y) / 2 = 7,1628°, somit
x - y = 14,33°
4) x = 89,57°
5) y = 75,24°
6) u = DA mit Sinussatz im Dreieck DAC:
u = b * sin ( n + y ) / sin n = 6885 m
7) v = DB mit Sinussatz im Dreieck DBC:
v = a * sin ( m + x ) / sin m = 6787 m
8) w mit Sinussatz in einem der genannten Dreiecke:
w = a* sin x / sin m = b * sin y / sin n = 8199 m
Resultate alle mit Gewehr !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
matthias
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 20:12: |
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Also nochmal, vielen Dank !
Ich habe es am Anfang erstmal halb-graphisch gelöst:
Beispiel: Neupunkt N liegt im Dreieck ABC:
Winkel A-N-B ist gemessen, 180°minus diesen Winkel / 2 ergibt die Hilfs-Winkel N-A-B bzw N-B-A.
Durch den vorläufige Schnittpunkt dieser beiden Winkel sowie durch A und B zeichne ich einen Kreis. Punkt N liegt jetzt zwangsläufig irgendwo auf diesem Kreis im Dreieck. Jetzt brauche ich nur noch mit B-N-C oder mit C-N-A genau so zu verfahren. Die Schnittpunkte der Kreise ergeben Punkt N.
Über der mathematischen Lösung sitze ich noch.
Matthias |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 10:25: |
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Hi Matthias,
Da Dich das Problem des Rückwärtseinschneidens
löblicherweise so sehr interessiert und Dir offenbar
keine Ruhe lässt, zeige ich Dir eine interessante
grafische Methode.
Diese ist unter dem Namen "Methode von Collins"
bekannt, benannt nach dem englischen Mathematiker
John Collins (1625- 1683).
Die Methode verbindet den Rückwärtseinschnitt
mit einem Vorwärtseinschnitt und führt sehr rasch zum Ziel
Daher war sie z.B. im artilleristischen Vermessungswesen
im Zeitalter der Messtische und Logawalzen
eine beliebte und bevorzugte Technik.
Um Dir die Methode zu erklären, entwerfen wir in einem
gegebenen rechtwinkligen (x,y)-Koordinatensystem
eine fixe Analysisfigur oder Schaufigur der Situation..
Zeichne die folgenden Daten ein (Einheit 1 cm) :
Kreis c, Mittelpunkt im Ursprung, Radius r = 5
Auf c liegen die Punkte A(3 / 4) , B(- 4 / 3), D(-3 /-4)
Ausserdem : Punkt C(-1 / 2) im Inneren von c.
Die Gerade DC schneidet c im Punkt J (0 / 5), J wie JOHN.
Bezeichnungen im Anschluss an meine erste Arbeit zum Thema
Strecke CB = a, Strecke CA = b
Winkel ACB bei C = gamma = g
Winkel BDC bei D = m
Winkel ADC bei D = n
Anmerkung
Die Winkel x = winkel CBD und y = Winkel CAD brauchen
wir heute nicht
Von der so erstellten Figur gehen wir bei der folgenden
Analyse aus
1. Die Punkte A,B,D bestimmen einen Kreis c
2. Die Gerade DC schneidet c im Punkt J , dem sogenannten
Collins-Punkt.
3. Der Winkel JAB ,Scheitel bei A , stimmt nach dem Satz
über Peripheriewinkel mit dem
Winkel BDJ = Winkel BDC = m überein, bitte eintragen
4. Der Winkel JBA ,Scheitel bei B, stimmt nach dem
gleichen Satz mit dem
Winkel ADJ = Winkel ADC = n überein., bitte eintragen.
Konstruktion
Wir verlassen nun die Analysisfigur und das
Koordinatensystem und arbeiten auf dem Messtisch .
Im Plan sind die Punkte A, B und C bereits
massstäblich richtig eingetragen
Wir führen die folgenden Konstruktionsschritte durch
(1) Antragen der Winkel n bei B und m bei A,
gemeinsamer Schenkel AB.
Die freien Schenkel schneiden sich im Collinspunkt J.
(Vorwärtseinschnitt).
(2) Zeichne den Umkreis des Dreiecks ABJ
(3) D ergibt sich als Schnittpunkt des Kreises c mit der
Geraden JC
Wir sind fertig !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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