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Logik

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Anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 1999 - 00:08:   Beitrag drucken

Wer kann mir helfen??

Der König führt einen Prinzen in einen Raum mit 9 Türen. An jeder Tür hängt ein Schild. In einem Zimmer ist eine Prinzessin, jedes andere Zimmer ist ein Verließ oder es steckt ein Tiger drin. Der Prinz möchte die Prinzessin haben.

König: In dem Zimmer, wo die Prinzessin ist, ist die Aufschrift wahr. In Zimmern, wo Tiger sind, ist die Aufschrift falsch. Die Schilder an leeren Zimmern sind alle wahr oder alle falsch.

1. Zimmer: Prinzessin ist in einem Zimmer mit ungerader Zimmernummer.
2. Zimmer: Diese Zimmer ist leer.
3. Zimmer: Die Aufschrift an Zimmer 5 ist wahr oder die Aufschrift an Zimmer 7 ist falsch.
4. Zimmer: Aufschrift an Zimmer 1 ist falsch.
5. Zimmer: Aufschrift an Zimmer 2 oder Aufschrift an Zimmer 4 ist wahr.
6. Zimmer: Aufschrift an Zimmer 3 ist falsch.
7. Zimmer: Prinzessin ist nicht im Zimmer 1.
8. Zimmer: In diesem Zimmer ist ein Tiger und Zimmer 9 ist leer.
9. Zimmer: In diesem Zimmer ist ein Tiger und die Aufschrift an Zimmer 6 ist falsch.


Wer oder was ist wo?
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Anonym
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 1999 - 21:09:   Beitrag drucken

Kann mir denn tatsächlich keiner helfen??
Bitte!!

Kai
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Anonym
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. November, 1999 - 06:55:   Beitrag drucken

Schönes Problem!!!

Hast Du es schon mal mit der "Logical-Methode" aus dem Magazin PM versucht? Ich werde das mal angehen, nur ist Momentan eine schlechte Zeit dafür...
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Anonym
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. November, 1999 - 21:28:   Beitrag drucken

Also...

Betrachte Schild 9: Ist es wahr, befindet sich dahinter ein Tiger. Hinter einem wahren Schild kann aber kein Tiger sein, also ist dieses Schild falsch. Falsches Schild, kein Tiger -> Zimmer 9 ist ein Verlies.

Betrachte Schild 8:
dito
Falsches Schild, kein Tiger -> Zimmer 8 ist ein Verlies.

Laut Aufgabenstellung sollen die Schilder an leeren Zimmern (=Verlies) alle wahr oder alle falsch sein. (sind die beiden "alle" wirklich so gemeint?). Mit dem vorherigen Schluß wären also alle Schildern vor Verliesen falsch. Es gibt nur ein richtiges Schild, nämlich dem vor der Prinzessin, alle anderen Schilder sind falsch.

Jetzt kommt´s:

Betrachte Schild 4: Ist es wahr, so ist die Prinzessin hinter dem wahren Schild also in Zimmer 4. Ist Schild 4 falsch, ist Schild 1 wahr; die Prinzessin wäre dann in Zimmer 1.
Sie ist in jedem Fall entweder in 1 oder 4.

Betrachte Schild 6: Ist es wahr, so ist die Prinzessin in Zimmer 6; ist es falsch, wäre Schild 3 wahr und sie wäre in 3.
Sie ist in jedem Fall entweder in 3 oder 6.

Daraus schließe ich:
...einen Fehler in der Aufgabenstellung.

Übrigens ist die Prinzessin in keinem Fall im Zimmer 2. (Schild 2 wahr: Zimmer leer, Schild 2 falsch: keine Prinzessin).
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Anonym
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 18:08:   Beitrag drucken

Irrtum von Anonym 11.11.:

Aus den Schildern 6 und 4 folgt, daß es mindestens 2 wahre Schilder geben muß. Daher müssen alle Schilder vor einem Verlies wahr sein. Falsche Schilder hängen nur vor einem Tigerkäfig.

zu Schild 9:
Beide Teilaussagen sind mit einem "logischen und" verknüpft, d.h. eine falsche Teilaussage reicht aus, um die Gesamtaussage falsch werden zu lassen.
Wir wissen, daß das Schild falsch ist, da kein Tiger hinter einem wahren Schild sein darf. Wir wissen auch, daß hinter einem falschen Schild ein Tiger sein muß. Daher muß die zweite Teilaussage falsch sein. Die Aufschrift an Zimmer 6 ist demnach richtig.

zu Schild 8:
Ähnlich wie Schild 9 muß dieses Schild falsch sein. Auch hier ist die zweite Teilaussage falsch. Zimmer 9 ist demnach nicht leer (was wir bereits bestätigt haben).

Zimmer 8 und 9 sind mit falschen Schildern versehen und beherbergen einen Tiger.

Damit habe ich zwar den vermeintlichen Fehler in der Aufgabestellung widerlegt, für die weitere Lösung liegt meine Schulzeit mit Bool'scher Schaltalgebra schon zu lange zurück.

Viel Glück weiterhin mit dieser Aufgabe.
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Anja
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 12:20:   Beitrag drucken

Zu Anonym 14.11.99
Du schreibst in Zimmer neun kein Tiger (richtig).
Dann schreibst du aber Zimmer Neun kann nicht leer sein, diese Aussage ist Falsch den in Zimmer neun kann nicht die Prinzessin sein, denn dann müßte die Aufschrifft wahr sein und das ist sie nicht.
Da steckt noch ein Denkfehler drinne. Ich versuche die Lösung zu finden
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Knobelmeister
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 04:46:   Beitrag drucken

Ich habe die Lösung vollständig aufgeschrieben, außerdem ist noch was zum ansehen dabei! Viel Spaß
besucht:
www.fortunecity.de/olympia/becker/341/

Euer Knobelmeister
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Steff
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 23:07:   Beitrag drucken

Echt super Knobelmeister!!! Muß ziemlich viel Arbeit gewesen sein.
Steff
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Knobelmeister
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 00:26:   Beitrag drucken

War mir ein Vergnügen!

Gebt mir mehr solche Aufgaben! (Lechz)

Der Knobelmeister
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Anonym
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 22:22:   Beitrag drucken

Bitte: Nach welcher Zeit löst sich ein reibungsfrei gleitender Körper von der Oberfläche einer Kugel, wenn er sich zu anfang am höchsten Punkt der Kugel befand?
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Zaph
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2000 - 11:18:   Beitrag drucken

Knobelmeister, ich fürchte, das von Steff war ironisch gemeint. Die von dir angegebene Seite ist, zumindest bei meinem Browser, nämlich absolut leer!
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Knobelmeister
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2000 - 23:42:   Beitrag drucken

Zaph,

da solltest Du mal Deinen Browser überprüfen! Bei mir klappts, bei meinen Freunden auch! Also bitte! Und selbst wenn, dann findest Du die Prinzessin in Raum 7!

Zu Anonym!
Ist die Kugel frei im Raum schwebend? Oder leigt sie auf dem Boden?

Fall 1: Er löst sich nie von der Kugel!
Fall 2: Eer löst sich sofort von der Kugel!

Abgesehen davon, gibt es keinen reibungsfrei gleitenden Körper !(Achtung Nobelpreis in der Chemie 1998 wurde zum Nachweis der Überflüssigkeit verleihen! Es gibt Substanzen, die Nahe 0 Kelvin die Wände des Gefäßes HOCHgleiten)

Der Knobelmeister
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 00:46:   Beitrag drucken

Die Kugel liegt auf der Erdoberfläche. Der reibungsfrei gleitende Punkt beginnt seine Bewegung in ihrem obersten Punkt und löst sich an einer bestimmten Stelle von der Kugel. Findest Du sie, lieber Knobelmeister?
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spockgeiger
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 02:01:   Beitrag drucken

da du das scheinbar wirklich (mehr oder minder) ernst meinst, also bitte:

wenn der koerper an der obersten stelle ist, hat er keinen grund, herunterzugleiten, da tie tangente der kugel in diesem fall horizontal ist

veraeppel uns ruhig weiter, koennte witzig werden

spockgeiger
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Anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 08:11:   Beitrag drucken

Ruhig Blut! Der (hier als Massepunkt anzusehende) Körper bewegt sich _reibungsfrei_ auf der Kugeloberfläche. Analog der umkippenden Stange wird er also in jedem Fall der Schwerkraft "folgen" und abrutschen. Frage: Wann geht er dabei in den freien Fall über, beziehungsweise: wann löst er sich von der Kugel?
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spockgeiger
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 15:53:   Beitrag drucken

muesste er nicht an irgendeiner stelle sich losloesen, wo die tangente der kugel senkrecht wird? da aber die richtung nicht vorherbestimmbar ist, ist der genaue punkt nicht feststellbar, oder? muesste aber auf dem "aequator" liegen?

ruhig blut war nicht noetig, nimm mich nicht zu ernst, ist anstrendegend, hinter jedes wort einen smily zu setzen ;)

spockgeiger
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Anonym
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 08:55:   Beitrag drucken

Loslösen beim Äquator? Ja, wenn nur der Schwerkraft wirken würde. Durch die Kreisbewegung überlagert sich dem jedoch die Zentrifugalkraft. Und ab der Stelle, wo die Gesamtkraft tangential der Kugeloberfläche ist, da passiert es.
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 10:33:   Beitrag drucken

Die Aufgabe ist relativ einfach zu lösen: man braucht ja nur die Kräfte die auf den kleinen Körper wirken mit den Trägheitskräften ins Gleichgewicht zu setzen.

Falls ich mich nicht verechnet habe, ergibt sich die Ablösung bei einem Winkel von 48°11'. (cos(a)=2/3)
Winkel a von der Senkrechten gezählt.

Leider habe ich jetzt keine Zeit, um den Rechnungsgang abzutippen.
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 18:42:   Beitrag drucken

Ich habe nun doch noch meine Rechnung abgetippt:

Wir betrachten den Zustand bei der Position des Winkels q:
Auf den kleinen Körper (Masse m) wirken zwei Kräfte:
die Schwerkraft=m*g
die Auflagekraft P

Diese beiden Kräfte müssen im Gleichgewicht mit den Trägheitskräften sein:
In radialer Richtung: m*ar
In tangentialer Richtung: m*at

wobei ar die Normalbeschleunigung ist
ar=-R*w²=-m*R*q
at= R*q"
=======================
Strich bedeutet die Ableitung nach der Zeit, also, q' = dq/dt
normalerweise schreibt man dies mit einem Punkt über der Variablen - dies kann ich aber nicht tippen.
============================
Gleichgewichtsbedingungen:
Radial: P-m*g*cosq = m*ar = -m*R*q'² [1]
Tangential: m*g*sinq = m*at = m*R*q" [2]
=====================
Nun ein kleiner Trick (Kettenregel):
w=q'=dq/dt
q"=dw/dt=(dw/dq)*(q/dt)= w*dw/dt
=====================
Dies in [2] eingesetzt:
m*g*sinq=m*R*w*dw
Dies ist die Differentialgleichung der Bewegung, die leicht zu lösen ist, weil wir die Variablen trennen können:
g*sinq*dt = R*w*dw
Dies können wir nun links und rechts integrieren:
-g*cosq = R*w²/2+C

für q=0 ist w=0
also C=-g

-g*cosq = R*w²/2-g
daraus:
w² = 2*g/R*(1-cosq)
====================================
Dies ist die Gleichung für die Geschwindigkeit als Funktion des Winkels.

In [1] eingesetzt:
P = m*g*cosq-2m*g*(1-cosq)
Dies ist die Kraft als Funktion des Winkels.

Wie suchen den Ablösepunkt, also jenen Position für die die Auflagekraft Null wird:
m*g*cosq-2m*g(1-cosq)=0
g(cosq-2+2cosq)=0
3cosq=2
cosq=2/3
q=arccos(2/3)

q = 48°11'
====================
Bei einem Winkel von 48° angekommen, löst der kleine Körper sich von der Kugel und fällt selbstständig (neue Rechtschreibung!) in einer Parabelbahn weiter.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
u
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 19:44:   Beitrag drucken

Verbesserung einiger Tippfehler:

Beim "kleinen Trick" muss es heißen:
dw/dt = (dw/dq)*(dq/dt) = w*dw/dq
Dies in [2] eingesetzt:
m*g*sinq=m*R*w*dw/dq
g*sinq*dq = R*w*dw

Sorry.
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Zaph
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 20:16:   Beitrag drucken

Hab' mich auch an dieser *-Aufgabe versucht und komme auf dasselbe Ergebnis wie Fern, allerdings mit einem anderen Ansatz:

Es sei r der Radius der Kugel und x die Höhe des kleinen Teilchens über dem Mittelpunkt der Kugel (am Anfang x = r). Zunächst bewegt sich das Teilchen entlang einer Kreisbahn mit Radius r auf dem kürzesten Weg zur Erdoberfläche. Nach dem Energieerhaltungssatz folgt dann nach etwas Rechnung für die horizontale Geschwindigkeit des Teilchens
v = x/r * Wurzel(2g(r-x)).
Wenn das Teilchen ständig auf der Kreisbahn bliebe, nimmt v erst zu und dann wieder ab. Das Teilchen löst sich ganau dann von der Kugel, wenn v das Maximum erreicht (es ist ja nichts da, was es bremst). Das ist für x = 2/3 r der Fall (Ableitung v'(x) Null setzen!). Damit
cos(theta) = 2/3.
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Anonym
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 07:59:   Beitrag drucken

Für die Lösung der Aufgabe herzlichen Dank. Ich hätte es auch über das Gleichgewicht von Zentrifugalkraft und der Radialkomponente der Schwerkraft versucht: mv²/r=g*cos(theta) mit v² aus dem Energiesatz mv²/2=mgh=mgr(1-cos(theta)).

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