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Jessica (summerrain2)
Junior Mitglied
Benutzername: summerrain2
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 15:56: | 
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Hallo!
Wir haben eine etwas komplizierte aufgabe zu machen... wir sollen überprüfen eine punktsymetrie zum ursprung vorliegt, achsensymetrie, bestimmung der nullstellen, extrema, und wendepunkte!
f(x) = x^5 - 3x^3- 2x^2 |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 08:35: |
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Hallo Jessica
f(x)=x5-3x³-2x²
Eine Funktion heißt punktsymmetrisch zum
Ursprung, wenn gilt: f(x)=-f(-x);
sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse,
wenn gilt: f(x)=f(-x)
f(-x)=(-x)5-3*(-x)³-2*(-x)²=-x5+3x³-2x²
-f(-x)=x5-3x³+2x²
=> f(x)<>f(-x) und f(x)<>-f(x)
=> weder punkt- noch achsensymmetrisch.
Nullstellen:
f(x)=0
<=> x5-3x³-2x²=0
<=> x²(x³-3x-2)=0
<=> x²=0 oder x³-3x-2=0
<=> x=0 oder x³-3x-2=0
Wegen x³-3x-2=(x²-x-2)(x+1) folgt
x=-1 oder x²-x-2=0
=> x=0,5±Ö(0,25+2)
=0,5±Ö2,25
=0,5±1,5
=> x=0,5+1,5=2 bzw. x=0,5-1,5=-1
Nullstellen sind also: N1(0|0); N2(-1|0) und N3(2|0)
Ableitungen:
f'(x)=5x4-9x²-4x
f"(x)=20x³-18x-4
f"'(x)=60x²-18
Extrema: f'(x)=0
<=> 5x4-9x²-4x=0
<=> x(5x³-9x-4)=0
<=> x=0 oder 5x³-9x-4=0
<=> x=0 oder (5x²-5x-4)(x+1)=0
<=> x=0 oder x=-1 oder 5x²-5x-4=0
5x²-5x-4=0 |:5
<=> x²-x-0,8=0
=> x=0,5±Ö(0,25+0,8)
=0,5±1,0247
=>x=1,5247 bzw. x=-0,5247
wegen f"(0)=-4<0
f"(-1)=-20+18-4=-6<0
f"(1,5247)=39,4451>0 und
f"(-0,5247)=2,5555>0
hat die Funktion für x=0 und x=-1 Maxima
und für x=1,5247 und x=-0,6247 Minima
Wendepunkte:
f"(x)=0
<=> 20x³-18x-4=0 |:2
<=> 10x³-9x-2=0
<=> x=-0,8077 oder x=-0,237 oder x=1,0447
mit 3. Ableitung überprüfen
(Anmerkung: Nullstellen der 2. Ableitung mit Näherungsverfahren ermitteln; oder Taschenrechner)
Mfg K. |
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