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Beitrag |
    
Kristina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 15:28: | 
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Hallo, ich bitte dringend um Hilfe
1.gegeben: Getränkeverpackung: Zylindrige Aludosen mit Inhalt von 0,5 l; Für welche Radiuslänge ist der Materialverbrauch minimal?
2. Einem Halbkreis vom Radius r = 6cm ist ein Rechteck so einzuschreiben, dass eine Rechteckseite auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt; Wie groß muss die Rechteckseite sein, damit der beim Zusammenrollen des Rechtecks entstehende Zylinder ein maximales Volumen hat???
Danke im Voraus
Kristina
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Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 18:13: |
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1.)Modellbildend kann man die Getränkedose als Zylinder ansehen (Kanten, Wölbungen etc bleiben unberücksichtigt). Der Materialverbrauch ist proprtional zum Oberflächeninhalt des Zylinders.
Zielfunktion (Oberfläche: 2 Deckel + Mantel)
O(r,h)= 2pi*r^2 + 2pi*r*h
Nebenbedingung über das Volumen 0,5
pi*r^2*h=0,5
h=1/(2*pi*r^2)
einsetzen in O(r,h)
O(r)=2pi*r^2 + 1/r
O'(r)=4pi*r -1/r^2
O''(r)=4pi+2/r^3
O'(r)=0
4pi*r -1/r^2=0 // * r^2
4pi*r^3-1=0
r^3=1/(4pi)
r= (1/(4pi))^(1/3)= 0,43
O''(0,43)> 0 also lokales Minimum
Verhalten an den Rändern:
O(0)-> unendlich
O(unendlich) -> unendlich,
also absolutes Minimum für r=0,43 dm
2. nennt man die Höhe des Zylinders x, so ergibt sich für den Radius (SQRT(36-x^2))
V(x)= pi (36-x^2)x
= pi (36x-x^3)
V'(x)= pi(36-3x^2)
V''(x)= pi(-6x)
V'(x)=0
pi(36-3x^2)=0
36=3x^2
x=+-SQRT(12) nur positive Lsg kommt in Betracht
V''(SQRT(12))<0 also lokales Maximum
Verhalten an den Rändern:
V''(0)= 0
V''(6)= 0 also absolutes Maximum
Die Höhe war sqrt(12), dann ist der radius sqrt(24)=2Sqrt(6)
Die Rechteckseite ist also 4sqrt(6) lang.
Gruß
Peter
29.6 K | skizze.doc
"skizze" | |
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Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 18:14: |
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1.)Modellbildend kann man die Getränkedose als Zylinder ansehen (Kanten, Wölbungen etc bleiben unberücksichtigt). Der Materialverbrauch ist proprtional zum Oberflächeninhalt des Zylinders.
Zielfunktion (Oberfläche: 2 Deckel + Mantel)
O(r,h)= 2pi*r^2 + 2pi*r*h
Nebenbedingung über das Volumen 0,5
pi*r^2*h=0,5
h=1/(2*pi*r^2)
einsetzen in O(r,h)
O(r)=2pi*r^2 + 1/r
O'(r)=4pi*r -1/r^2
O''(r)=4pi+2/r^3
O'(r)=0
4pi*r -1/r^2=0 // * r^2
4pi*r^3-1=0
r^3=1/(4pi)
r= (1/(4pi))^(1/3)= 0,43
O''(0,43)> 0 also lokales Minimum
Verhalten an den Rändern:
O(0)-> unendlich
O(unendlich) -> unendlich,
also absolutes Minimum für r=0,43 dm
2. nennt man die Höhe des Zylinders x, so ergibt sich für den Radius (SQRT(36-x^2))
V(x)= pi (36-x^2)x
= pi (36x-x^3)
V'(x)= pi(36-3x^2)
V''(x)= pi(-6x)
V'(x)=0
pi(36-3x^2)=0
36=3x^2
x=+-SQRT(12) nur positive Lsg kommt in Betracht
V''(SQRT(12))<0 also lokales Maximum
Verhalten an den Rändern:
V''(0)= 0
V''(6)= 0 also absolutes Maximum
Die Höhe war sqrt(12), dann ist der radius sqrt(24)=2Sqrt(6)
Die Rechteckseite ist also 4sqrt(6) lang.
Gruß
Peter
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FGX (freeliner_gx)
Neues Mitglied
Benutzername: freeliner_gx
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 21:52: |
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Toll gemacht, gar nicht so einfach.
(Beitrag nachträglich am 21., Juni. 2003 von FreeLiner_GX editiert) |
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