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Hans_maulwurf (Hans_maulwurf)
Junior Mitglied
Benutzername: Hans_maulwurf
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2010
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2010 - 21:49: | 
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Hallo heute gleich die zweite Frage, scheinbar sind die Hausaufgaben schwerer als ich dachte…:-(
Die Aufgabe ist:
Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=-x^2+4x+2 und der Punkt P(-1/1). Wie lautet die Gleichung der geraden g, die durch P verläuft und den Graph von f berührt?
Mir ist klar, dass ich eine Tangete an die Parabel legen muss, aber wie kann ich das machen? |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2010 - 10:14: |
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Hallo Hans,
die gesuchte Gerade g(x) muss 3 Bedingungen erfüllen:
(1) Die Gerade g(x) hat einen gemeinsamen Berührpunkt S mit f(x), d.h.:
f(xS) = g(xS)
(2) Die Gerade g(x) verläuft durch den Punkt P (-1;1), d.h.:
P(-1;1) eingesetzt in g(x) = mx+n
1 = -m + n
n = 1 + m
(3) Im Berührpunkt S haben f(x) und g(x) die gleiche Steigung, d.h.:
m = f '(xS)
m = -2xS +4
ausgehend von (1):
f(xS) = g(xS)
-xS² + 2xS + 4 = mxS + n
mit (2)
xS² + 2xS + 4 = mxS + 1 +m
mit (3)
xS²+ 2xS + 4 = -2xS² + 4xS + 1 - 2xS + 4
zusammengefasst zu
0 = xS² + 2xS - 3
xS1 = -1 + 2 = 1
xS2 = -1 - 2 = -3
g1 = 2x + 3
g2 = 10x + 11
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Hans_maulwurf (Hans_maulwurf)
Junior Mitglied
Benutzername: Hans_maulwurf
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 09-2010
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2010 - 11:54: |
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hallo danke für diese ausführliche Antwort, kann man Punkt (3) auch ohne Ableitung lösen? Haben wir nich nicht gehabt. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1378
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2010 - 19:18: |
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Ich erlaube mir mal, mich hier einzuschalten.
Man kann die Aufgabe komplett über quadratische Gleichungen lösen, indem man den Schnittpunkt der Geradenschar durch (-1/1) mit der Funktion f berechnet. Liegt nur ein Schnittpunkt vor, dann berührt die zugehörige Gerade den Graphen der Funktion.
Die Berechnung erfordert allerdings ein wenig Sicherheit bei der Umformung mit Variabeln.
Wie grandnobi ja schon hergeleitet hat, beschreibt gm(x) = mx + (m+1) die Geradenschar durch (-1/1). Den Schnittpunkt mit f berechnet man über den Ansatz f(x)=gm(x)
-x2+4x+2 = mx + (m+1)
0 = x2-4x-2 + mx +(m+1) = x2 - (4-m)x +(m-1)
Anschließend pq-Formel anwenden und Radikant Null setzten. |
Hans_maulwurf (Hans_maulwurf)
Junior Mitglied
Benutzername: Hans_maulwurf
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 09-2010
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2010 - 07:29: |
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Hallo,
hätte ich mir denken können, dass geimensammer Punkt bedeutet gleichsetzten.
Danke |
Hans_maulwurf (Hans_maulwurf)
Junior Mitglied
Benutzername: Hans_maulwurf
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 09-2010
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2010 - 07:44: |
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ups doch nicht klar...
also ich habe:
mx+1(1+m)=x^2+4x+2
0=x^2+4x-mx+1-m
(gibt es hier ein Formeleditor?)
x_1/2=-(4-m)/2 +-Wurzel((4-m)^2/4 -1+m
=(4-m)2 +-Wurzel(3-m^2m+m)
und hier finde ich meine Fehler nicht. Kann man es trotzdme lesen?
Grüße und danke |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2010 - 13:47: |
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Hans, Du hättest die Vorzeichen nur richtig von Ingo übernehmen müssen:
0 = x² - (4-m)x + m - 1
x1,2 = +(4-m)/2 ± Ö((4-m)²/4 -m +1)
Einen Berührpunkt erhält man nur, wenn es nur einen Schnittpunkt gibt, d.h. wenn die Diskriminante des Wert 0 hat.
Danke an Ingo für diese Idee, auf die ich so nicht gekommen wäre.
(4-m)²/4 + 1 - m = 0
m² - 12m + 20 = 0
Einen Formeleditor gibt es zwar nicht, aber eine umfangreiche Formatierungssprache (siehe Link auf der Homepage). Zur Not kann man eine komplizierte Gleichung auch als Grafik einfügen. |
Hans_maulwurf (Hans_maulwurf)
Junior Mitglied
Benutzername: Hans_maulwurf
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 09-2010
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2010 - 15:38: |
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danke m=10 und m=2 |
Hans_maulwurf (Hans_maulwurf)
Junior Mitglied
Benutzername: Hans_maulwurf
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 09-2010
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Oktober, 2010 - 07:24: |
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ups doch eine Frage, wenn ich die erste Zeile ausmultipliziere.
m^2 - 4m + 20 = 0 |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1379
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Oktober, 2010 - 17:09: |
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Zunächst einmal: 2 und 10 sind die korrekten Lösung.
Wenn Du die Gleichung ausmultiplizierst erhältst Du
(4-m)2/4 + 1 - m = 0
(16-8m+m2)/4 + 1 - m = 0
4-2m+(1/4)m2 + 1 - m = 0
(1/4)m2 - 3m + 5 = 0
schneller geht es aber, wenn du zunächst mit vier multiplizierst:
(4-m)2/4 + 1 - m = 0
(4-m)2 + 4 - 4m = 0
(16-8m+m2) + 4 - 4m = 0
m2 - 12m + 20 = 0 |
