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Elenor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2006 - 19:48: | 
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Also als erstes meine Frage: Was sind Wendepunkte und wie berechnet man sie?
Den Informationen aus dem Internet entnehme ich, dass Wendepunkte Extrmstellen sind, also Maximal- und Minimalstellen, was mich etwas verwirrt, da wir Extrmstellen schon durchgenommen haben und jetzt bekommen wir die gleiche Aufgabe noch mal das ganze zu erklären? Etwas seltsam.
Sind also Extremstellen Wendepunkte?
Danke schon mal im Vorraus
MfG
Elenor |
Andreas_ (Andreas_)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Andreas_
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2006 - 21:18: |
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Also, wenn ich es richtig verstehe, dann sind Wendepunkte Punkte, an denen der Funktionsgraph "umdreht". Das ist so zu verstehen, daß der Graph vor diesem Punkt ansteigt und nach diesem Punkt wieder fällt, oder umgekehrt. Wenn der Graph zuerst steigt und dann fällt, handelt es sich um eine Maximalstelle und wenn der Graph zuerst fällt und dann steigt, dann ist es eine Minimalstelle.
Auf jeden Fall haben Wendepunkte die Eigenschaft, daß die erste Ableitung der Funktion an diesen Stellen 0 ist (Die Steigung an diesen Stellen ist 0). Um also Wendepunkte zu berechnen, leitest Du die Funktion ab und setzt sie gleich 0 und berechnest dann das x. An den Stellen, die Du für x erhältst befinden sich Wendepunkte.
Um zu ermitteln, ob es sich bei dem Wendepunkt um ein Maximum oder ein Minimum handelt, mußt Du die abgeleitete Funktion nochmal ableiten (2. Ableitung) und den vorhin berechneten Wert für x einsetzen und das Ergebnis berechnen. Wenn dabei ein Wert herauskommt, der größer als 0 (also positiv) ist, dann handelt es sich um eine Minimalstelle, wenn der Wert kleiner als 0 (also negativ) ist, dann handelt es sich um eine Maximalstelle. Wenn der Wert genau 0 ist, ist eine Flachstelle, also kein Maximum und kein Minimum.
Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.
Liebe Grüße -
Andi |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1789
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2006 - 23:20: |
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Lieber Andreas, das ist ziemlicher Unsinn, was du da erzählt hast, sorry.
Vor allem trifft es nicht den Wendepunkt!
Damit hilfst du dem Fragesteller nicht nur nicht, sondern verunsicherst ihn noch mehr.
Wenn du über das Thema nicht (gut) Bescheid weisst, lass' es lieber.
Wendepunkte sind Punkte, in denen die Steigung der Kurve einen Extremwert annimmt. Man erhält sie durch Nullsetzen der 2. Ableitung. Die dritte Ableitung in einem Wendepunkt muss ungleich Null sein. Die Tangente im Wendepunkt (sie heisst Wendetangente) hat die Eigenschaft, dass sie die Kurve durchsetzt, bzw. es befindet sich die Kurve vor und nach dem Wendepunkt auf verschiedenen Seiten der Kurve (daher kommt die Bezeichnung: Wendepunkt).
Gr
mYthos |
Andreas_ (Andreas_)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Andreas_
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2006 - 11:00: |
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Entschuldigung, daß ich mich nochmal einmische, aber wenn ich Deine Antwort richtig verstehe, ist also ein Wendepunkt tatsächlich etwas anderes als eine Minimal- oder eine Maximalstelle??? (ich dachte bisher ehrlich gesagt, daß es das selbe ist - sorry)
Ich entschuldige mich, daß ich da offensichtlich was durcheinander gebracht habe, und sage trotzdem danke, daß Du mich korrigiert hast, weil damit auch ich wieder was dazu gelernt habe! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1794
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2006 - 15:15: |
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Ist schon OK, mein Ton war tatsächlich nicht gerade freundlich, es tut mir leid, ich war gestern nacht anscheinend etwas grantig ..., entschuldige bitte.
Der wichtige Unterschied:
Bei den lokalen Extremstellen ist f '(x) = 0 (Tangenten an die Kurve verlaufen waagrecht),
und bei den Wendepunkten ist f ''(x) = 0,
die (Wende-)Tangenten nehmen hinsichtlich ihrer Steigung eine extreme Lage ein.
Die 2. Ableitung wird jedoch noch zur Feststellung der Art des Extemums herangezogen:
f ''(x_max) < 0
f ''(x_min) > 0
Wahrscheinlich ist daraus auch dein Mißverständnis entstanden.
MfG
mYthos
(Beitrag nachträglich am 25., April. 2006 von mythos2002 editiert) |
Elenor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2006 - 20:47: |
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Danke noch mal an alle Beteiligten, ihr habt mir sehr weitergeholfen.
Elenor |
Andreas_ (Andreas_)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Andreas_
Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2006 - 22:33: |
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Hallo Mythos!
Ich hab da aber nochmal eine Frage:
Du hast ja geschrieben, daß bei einer Extremstelle f'(x)=0 und f''(x) entweder größer (Minimum) oder kleiner (Maximum) 0 ist.
Für einen Wendepunkt gilt: f''(x)=0
Nun meine Frage: Was ist nun, wenn f'(x)=0 und f''(x)=0 Das kann bestimmt keine Extremstelle sein, weil es weder ein Maximum noch ein Minimum ist. Demnach müßte es dann auch ein Wendepunkt sein, oder??? Bezeichnet man sowas auch als Flachstelle???
Mfg - Andi |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1211
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. April, 2006 - 19:28: |
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f(x)=x50 hat bei x=0 ein Minimum, obwohl f(k)(0)=0 für k<50
Entscheidend ist, die wievielte Ableitung ungleich 0 ist. Ist es eine gerade Ableitung, dann ist es ein Extrem, bei einer ungeraden eine Wendestelle.
Einfacher ist da meistens die Anwendung des VZ-Wechselkriteriums. (=Vorzeichenbetrachtung der Ableitung im Bereich der Nullstelle) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
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Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. April, 2006 - 23:01: |
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Soweit von Ingo, das sehe ich auch so.
Nun zum Flachpunkt:
Flachpunkte liegen vor, wenn Ableitungen ab der dritten Ableitung Null werden.
Ist die 3. Ableitung gleich 0 (die 1. bzw. 2. Ableitung können auch, müssen jedoch nicht Null sein), so tritt an dieser Stelle ein Flachpunkt (1. Ordnung) auf. Es können auch die ersten 3 Ableitungen ungleich Null sein und erst die 4. Ableitung gleich Null, dann ist es ein Flachpunkt höherer (2.) Ordnung.
Die nächstfolgenden Ableitungen (ab Ordnung n+3) bei einem Flachpunkt (n-ter Ordnung) müssen ungleich Null sein.
Interessant ist z.B. diese Funktion, sie hat nämlich 5 Flachpunkte:
f(x) = x6 - 4x4 + 2x - 6
Flachpunkte 1. Ordnung bei + ~0,9, - ~0,9
(3. Ableitung = 0, 4. Abl. ungleich Null)
x = 0 gehört wider Erwarten hier noch nicht dazu, denn die 5. Ableitung bei x = 0 ist ebenfalls Null.
Flachpunkte 2. Ordnung bei + ~0,5, - ~0,5
(4. Ableitung = 0, 5. Abl. ungleich Null)
Flachpunkte 3. Ordnung bei x = 0
(5. Ableitung = 0, 6. Abl. ungleich Null)
Gr
mYthos
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Andreas_ (Andreas_)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Andreas_
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2006 - 11:41: |
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Danke Ingo für Deine Erklärung und auch ein ganz großes Danke an Dich Mythos, daß Du es mir so ausführlich (sogar mit Zeichnung) erklärt hast. Ich glaube, ich blicke jetzt schon ein bißchen besser durch. |
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