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Laurakk (Laurakk)
Neues Mitglied
Benutzername: Laurakk
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2006 - 10:38: | 
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Hallo! Ich habe mal eine Frage an euch und zwar: Kann mir jemand erklären, was genau ich mit lim ausrechnen kann? Die Steigung? Also die erste Ableitung einer Funktion?
Habe mir das schon im Buch angeschaut (wie man Aufgaben mit Hilfe von lim löst) aber ich versteh das nicht, da alles nur mit Buchstaben geschrieben ist. Könnt ihr mir wohl eine Beispielaufgabe (mit Hilfe von Zahlen) geben? Das wäre super lieb von euch.
mfg
Laura |
Riona (Riona)
Neues Mitglied
Benutzername: Riona
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2006 - 12:47: |
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Hallo Laura,
mit dem lim rechnet man den Grenzwert einer Funktion aus, also den Wert, gegen den die Funktion ins negativ oder positiv unendliche geht. Wenn du den lim ausgerechnet hast, dann weiÜt du also, wo der Graph herkommt und wo er hingeht.
Ein Beispiel:
f(x)=x^2+7-x^3
Um den Grenzwert zu bestimmen guckst du dir die Variable (in diesem Fall x) mit dem hÜchsten Exponenten an (in diesem Fall -x^3)
lim f(x)=lim -x^3
x->+oo x->+oo
Jetzt guckst du, was passiert, wenn du eine sehr groÜe Zahl fÜr x einsetzt, z.B. 10000
-x^3 wird dann sehr negativ, das Ergebnis vom lim ist also -oo.
FÜr x->-oo (lies x gegen minus unendlich) wird -x^3 sehr groÜ:
lim f(x)=lim -x^3 = +oo
x->-oo x->-oo
Riona |
LauraKK
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2006 - 13:31: |
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Danke Riona!
Damit hast du mir echt total geholfen. So wie du es hier beschrieben hast, ist es wesentlich einfacher zu verstehen und nachzuvollziehen.
mfg
Laura |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1198
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2006 - 20:25: |
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Prinzipiell stimmt das, was Riona geschrieben hat. Sie hat es jedoch nur für ganzrationale Funktionen vorgerechnet.
Da Du die Frage in dem Bereich Differentialrechnung gestellt hast und auch selber die Ableitung erwähnt hast: Auch dafür wird der lim benötigt.
Ich versuche es daher mal allgemeiner zu formulieren: Mit dem lim (Grenzwert) untersucht man, ob sich ein bestimmter Term, welcher von einer Variabel abhängt, einem festgelegten Wert annähert, oder nicht.
In dem Beispiel von Riona ist es das Verhalten im Unendlichen. Bei gebrochenrationalen Funktionen sind es die Definitionslücken, die als Grenzen zu betrachten sind. Im Zusammenhang mit der Ableitung ist es der Abstand der beiden Ausdrücke, die sich einander annähern.
Beispiel: Die Ableitung von f(x)=x² soll mit Hilfe des lim berechnet werden.
d(h) = limh->0(f(x+h)-f(x))/h = limh->0((x+h)²-x²)/h
= limh->0((x²+2hx+h²)-x²)/h
= limh->0(2hx+h²)/h = limh->0(2x+h) = 2x
Der Trick dabei ist eigentlich immer, den Anfangsausdruck so umzuformen, dass man das h herauskürzen kann.
Abschließend noch ein Beispiel für den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion: f(x)=1/x
Definitionslücke: x=0 (Darf im Nenner nicht eingesetzt werden)
limx->0 f(x) = ±¥ (je nachdem ob x sich von unten oder oben annähert) |
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