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Cheers (Cheers)
Neues Mitglied
Benutzername: Cheers
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2006
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Februar, 2006 - 19:16: | 
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Hallo, könnte mir bitte jemand bei der Lösung folgender Aufgabe helfen ?
Ein Draht von 1m Länge wird in zwei Teile zerschnitten, Aus dem einen Teil wird ein gleichseitiges Dreieck gebogen, aus dem anderen ein Quadrat.
x = Umfang Dreieck und 1-x = Umfang Viereck.
1) Wie muss man den Draht zerteilen, d.h. x wählen, damit die Summe der Flächen von Dreieck und Quadrat minimal ist ?
2) Wie groß ist diese minimale Gesamtfläche ?
Nach meinen Überlegungen muss der Umfang des gleichseitigen Dreiecks aus 3 Teilen bestehen und somit 1/3 x sein. Der Umfang des Quadrats 1/4 (1-x). Leider habe ich keine Ahnung, wie ich x wählen muss, um die minimale Gesamtfläche vom Dreieck und Quadrat zu errechnen.
Wäre toll, wenn mir hier jemand helfen könnte. |
Tux87 (Tux87)
Senior Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 607
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Februar, 2006 - 20:28: |
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Hi Cheers,
auf www.mathdraw.de kannst du durch Kopieren und EinfÜger der Funktionen dir die Terme zeichnen lassen... (dann sieht man es besser)
sqrt=Wurzel
ich schreibe, was du tun solltest und welche Ergebnisse dann immer folgen -- die Zwischenschritte solltest du dir selbst Überlegen
1)
Formel fÜr Umfang vom gleichseitigen Dreieck:
3*a=x
a=(x/3)
Formel fÜr u vom Quadrat:
1-x=4*b
b=((1-x)/4)
FlÜche gleichseitiges Dreieck:
Ad=a/2*sqrt(a^2-a^2/4)
FlÜche Quadrat:
Aq=b^2
f(x)=Ad+Aq <-- soll minimal sein
Einsetzen:
f(x)=a/2*sqrt(a^2-a^2/4)+b^2
x einsetzen:
f(x)=(x/3)/2*sqrt((x/3)^2-(x/3)^2/4)+((1-x)/4)^2
vereinfachen:
f(x)=x^2/(6*sqrt(12))+(1-2x+x^2)/16
ableiten:
f'(x)=x/(3*sqrt(12))+(x-1)/8
f'(x)=0
x/(3*sqrt(12))+(x-1)/8=0
x=3*sqrt(12)/(8+3*sqrt(12))
2. Ableitung
f''(x)=1/(3*sqrt(12))+1/8
x einsetzen:
f''(3*sqrt(12)/(8+3*sqrt(12)))=1/(3*sqrt(12))+1/8
f''(x)>0: Lokales Minimum
lim(f(x))>0 bilden
lim(f(x))>1 bilden
mach ich mal nicht (denke mal, dass da eh jeweils 0 BlÜdsinn rauskommt) --> Lokales Minimum=Globales Minimum...
LÜsung:
bei LÜnge von
x=3*sqrt(12)/(8+3*sqrt(12))
durchschneiden...
2)
f(x)=(x/3)/2*sqrt((x/3)^2-(x/3)^2/4)+((1-x)/4)^2
x einsetzen und ausrechnen...
hoffe, dass du damit klar kommst...
Alle Angaben sind wie immer ohne Gewähr - doch wer nicht wagt, der nicht gewinnt...
mfG
Tux
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Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 798
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Februar, 2006 - 20:46: |
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Hi Cheers,
die Flaeche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlaenge a ist a*h/2=a*a/2*sqrt(3)/2, die Flaeche eines Quadrats bekanntlich a^2, also hast du als Zielfunktion fuer deine Minimierungsaufgabe
x^2/36*sqrt(3) + (1-x)^2/16
=x^2/36*sqrt(3) + 1/16 - x/8 + x^2/16
=x^2*(sqrt(3)/36 + 1/16) - x/8 + 1/16
Das kannst du jetzt entweder ableiten und nullsetzen oder mit quadratischer Ergaenzung weitermachen.
sotux |
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