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Ermittlung der Hyperbelgleichung???

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Eve
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 15:05:   Beitrag drucken

Hallo,

bräuchte dringend jemanden der mir kurz die Herleitung der Mittelpunktsgleichung einer Hyperbelgleichung erläutert. Habe zwar die Gleichung, komme aber mit den einzelnen Schritten nicht zurecht.

Kann mir jemand helfen??
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1657
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi!

Dazu verwendest du die geometrische Definition der Hyperbel. Sie ist der Ort aller Punkte, die von 2 festen Punkten F1, F2 (den Brennpunkten) Abstände haben, deren Differenz konstant (= 2a) ist. Die Verbindungsstrecken F1P bzw. F2P zu einem beliebigen Punkt P(x|y) der Hyperbel nennen wir l_1 bzw. l_2, sie heissen Leitstrahlen.

Wir setzen die Brennpunkte mit F1(e|0), F2(-e|0) an, und dann ist

l_1 = sqrt((x - e)² + y²)
l_2 = sqrt((x + e)² + y²)
--------------------------

Die Hyperbel hat zwei Äste und daher ist einmal l_1 > l_2 und einmal ist es umgekehrt. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass

l_2 - l_1 = 2a (rechter Ast)

durch das spätere Quadrieren erhalten wir ohnehin beide Möglichkeiten (beide Hyperbeläste).

sqrt((x + e)² + y²) - sqrt((x - e)² + y²) = 2a
sqrt((x + e)² + y²) = sqrt((x - e)² + y²) + 2a

Nun muss, um die Wurzeln wegzubekommen, insgesamt zwei Mal quadriert werden.

Kannst du die Rechnung nun mal alleine weiterführen? Setze im Verlauf für den Ausdruck e² - a² = b². Bei Problemen bitte nochmals nachfragen.

Wenn alles klappt, erhalten wir schließlich

b²x² - a²y² = a²b² oder auch
x²/a² - y²/b² = 1 .. Achsenform

Gr
mYthos
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Eve
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 06:55:   Beitrag drucken

dankeschÜn, aber meine mam wusste dann doch noch, wie's geht =)

trotzdem vielen dank, fÜr die mÜhe!

*gruÜ*

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