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Parabeltangente und ihre Berührpunkt...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klasse 11 » Funktionen » Funktionsgleichungen » Parabeltangente und ihre Berührpunkt « Zurück Vor »

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Fiona
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 13:49:   Beitrag drucken

Hallo,

hab in unserem Mathebuch "Elemente der MAthematik 11" folgende Aufgabe gefunden:

Berechne für die Parabeltangenten durch A die Berührpunktr B1 und B2. Gib auch die Gleichung der Parabeltangenten in der Normalform an.

y= x²
A (-0,5 / -2 )

Ich komme beim besten willen nicht weiter! Bitte helft mir !!

Danke

Eure Fiona
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1655
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 16:42:   Beitrag drucken

Hi,

die Tangente hat die Gleichung

y = m*x + n (m .. Steigung, n Abschnitt auf der y-Achse)

Da sie den Punkt A(-1/2 | -2) beeinhaltet, muss gelten:

-2 = -m/2 + n
°°°°°°°°°°°°°

Die zweite Gleichung für m, n ermittelst du aus der Tatsache, dass sich beim Schneiden einer der Tangenten mit der Parabel nur eine Lösung ergeben darf: Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Quadratwurzel) der entsprechenden quadratischen Gleichung in x muss NULL werden:

y = x²
y = m*x + n
---------------
x² - mx - n = 0
x1,2 = m/2 +/- sqrt(m²/4 + n)
---------------------------------
- >
m² + 4n = 0
°°°°°°°°°°°°

Nun beide Gleichungen nach m, n lösen ... [2 Lösungspaare]

Die Koordinaten des Berührungspunktes erhalten wir als die Lösung der bereits angeschriebenen quadr. Gleichung (- > x = m/2) und dann x in die lineare Gleichung der Tangente einsetzen (- > y).

Kannst du mit diesen Informationen nun die Aufgabe zu Ende führen?

Gr
mYthos
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 17:55:   Beitrag drucken

Hi,
eine andere Möglichkeit:
Die Tangente an die Parabel y=x^2 geht durch A(-1/2;-2)
und durch einen Berührpunkt B(b; b^2)
und hat den Anstieg f’(b)=2*b.
Hat man 2 Punkte und den Anstieg gegeben, kann man mit einer bestimmten Formel
die Gleichung der Geraden aufstellen:
b^2 + 2 = 2b*(b + 1/2)

Umformen liefert die quadratische Gleichung: b^2 + b – 2 = 0
und man erhält:
b1 = 1
b2 = -2
°°°°°°°
Durch einsetzen in die Parabelgleichung bekommen wir die beiden gesuchten Berührpunkte:
B1( 1; 1)
B2 (-2; 4)
*************

elsa
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 18:10:   Beitrag drucken

Die Gleichungen der Tangenten:
t1 geht durch B1 und hat den Anstieg 2: y = 2x - 1
t2 geht durch B2 und hat den Anstieg -4: y = -4x – 4
**********************************************
elsa
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 18:13:   Beitrag drucken

Zur Illustration noch ein Bildchen:
BPan par
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Fiona
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 19:07:   Beitrag drucken

Naja, danke für Eure Hilfe, aber sor ichtig klar ist mir die Aufgabe immer noch nicht. Wie kann ich B(b/b²) festlegen???

Was ist der Ansteig und wieso ist der 2b ??? (

Und was sind das für Formeln ???

LG

Fiona
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1658
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 20:51:   Beitrag drucken

Hallo Fiona,

warum verfolgst du nicht mal den bereits gegebenen Ansatz von mir weiter, wenn du elsa's Lösungsweg nicht verstehst?

Wenn ein Punkt auf der Parabel liegt, müssen seine Koordinaten die Parabelgleichung erfüllen. Wir ordnen diesem Punkt B(b|..) den x-Wert b (der zu berechnen ist) zu, und dann ist dessen y-Wert (weil er auf y = x² liegt) eben gleich b²!

Mit dem Anstieg ist die Steigung der Tangente in B gemeint, er ist der Wert der ersten Ableitung y' an der Stelle b. Da y' = 2x, beträgt diese an im Punkt B (an der Stelle b) eben 2b.

Ich meine, du solltest dich doch ein wenig gründlicher in die von uns gegebenen Hinweise vertiefen, denn mit dem in der 11. Klasse üblichen Kenntnisumfang sollte die Aufgabe entweder auf dem ersten oder auf dem zweiten Weg zu schaffen sein - wenn dies dein tatsächlicher Kenntnisstand ist.

Gr
mYthos

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