| Autor |
Beitrag |
    
Xeryk (Xeryk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. November, 2005 - 18:04: | 
|
Hallo
Kann mir jemand bitte weiter helfen?
wir haben folgende Folge bekommen: dn= (3n+1)/(4n+2) So, nun sollen wir diese untersuchen.
Wir machen das in der schule so:
(n+1)/(n+2)>(3n+1)/(4n+2) dann muss man das ganze auflösen und sagen, ob es sich um eine wahre Aussage handelt.
Bei diesem weiß ich nicht mal, wo ich anfangen soll... Könnt ihr mir vielleciht sagen, wies weiter geht?
Dann haben wir noch ein anderes:
cn= (1+(1/n))^n
(1+(1/n))^n < (n+1)/(n+2)
<-> ((1+(1/n))^n)*(n+2)
<-> (1+(1/n))*(n+2) <nteWurzel aus (n+1)
<-> n+2+1+(2/n) < nteWurzel aus (n+1)
<-> ( n+3+(2/n))^n < n+1
<-> ( n+3+(2/n))-n < 1
so, weiter komme ich leider nicht... könnt ihr mir bitte ganz schnell weiter helfen/weiterrechnen, wenn bis dahin alles richtig ist?
LG xeryk
Sahra
|
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. November, 2005 - 21:08: |
|
Hallo,
Bei der ersten Ungleichung könnte man mal ausklammern:
(3n+1)/(4n+2) = 3(n+ 1/3) / 4(n+ 1/2) = 3/4 * (n+ 1/3)/(n+ 1/2)
Da (n + 1/3) kleiner ist als (n + 1/2), ist der gesamte Ausdruck immer kleiner als 3/4. Ab n=2 ist aber (n+1)/(n+2)³3/4, wir müssen also nur n=1 gesondert untersuchen:
(n+1)/(n+2) = 2/3
(3n+1)/(4n+2) = 2/3 , also gleich,
das heißt, dass die Aussage erst ab n=2 gilt.
Bei der zweiten Aufgabe ist die Aussage in der ersten Zeile mit Sicherheit falsch, denn
(1 + (1/n))n > 1 und (n+1)/(n+2) < 1
Deine Umformungsschritte verstehe ich nicht.
Die Folge (1 + (x/n))n läuft übrigens für n-> ¥ auf ex zu.
Gruß Dörrby |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 673
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. November, 2005 - 22:53: |
|
Hi,
ich glaube du hast da was missverstanden. Du sollst sicher rausbekommen, wie sich die Folge (3n+1)/(4n+2) verhaelt, und das geht zum Beispiel so: Du formst so um, dass du einen dominanten Term und eine Nullfolge kriegst, also
(3n+1)/(4n+2) = 3/4 * (4n+4/3)/(4n+2) = 3/4 * (4n+2-2/3)/(4n+2) = 3/4 * (1 - 2/(3*(4n+2))) = 3/4 - 1/(2*(4n+2)) = 3/4 - 1/(8n+4)
Daran kannst du ablesen, dass die Folge streng monoton wachsend gegen 3/4 konvergiert.
Bei der anderen Folge ist das Verhalten schwerer zu sehen, weil die Potenz noch dazukommt: das 1+1/n geht monoton fallend gegen 1, aber durch die immer hoeheren Potenzen wird das wieder mehr als ausgeglichen. Die Folge waechst monoton, was du nachweisen kannst anhand dem Verhaeltnis aufeinander folgender Folgenglieder:
((n+1)/n)^n / ((n+2)/(n+1))^(n+1)
= (n+1)/(n+2) * ((n+1)^2/(n*(n+2)))^n
= (1-1/(n+2)) * (1+1/(n*(n+2)))^n
<= (1-1/(n+2)) * (1+n/(n*(n+2)))
= 1 - 1/(n+2)^2 < 1
wobei ich mir nicht ganz sicher bin ob ihr die dabei genutzte Ungleichung (1+x)^n<=1+nx schon hattet. Den Grenzwert e sollt ihr ja wohl nicht nachweisen, oder ?
sotux |
|
