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maria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 09:25: | 
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Hallo!!
ich hab hier 3. Aufgaben, bei denen ich nicht weiß, wie ich das mit den grenzwerten herauskriegen soll:
auntersuchen sie mithilfe allgemeiner testfolgen das grenzverhaten der funktion f für x --x0, x>x0 sowie für x -->x0, x<x0
a.) f(x) = 3/(3-x) x0=3
b.) f(x)= 5/(1-x)²; x0=1
c.) f(x)= (-1)/(x+1); x0= -1
könntet ihr bitte den Lösungsweg angeben??
maria |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1489
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 11:20: |
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Hallo,
wir setzen beispielsweise in a.)
1.: fuer x = 3 + 1/n (n € IN, x -> 3 von rechts) bzw.
2.: fuer x = 3 - 1/n (n € IN, x -> 3 von links)
das sind die Testfolgen, und lassen n gegen + oo oder - oo (unendlich) gehen.
Somit bestimmen wir das rechts- bzw. linksseitige Gerenzwertverhalten.
Setzen wir nun in die Funktion ein, so erhalten wir
1: <f1(n)> = 3/(-1/n) = -3n (von rechts)
bzw.
2.: <f2(n)> = 3/(1/n) = 3n (von links)
Wir sehen, dass fuer n -> oo bei 1. der (rechtsseitige) Grenzwert gegen -oo und bei 2. der (linksseitige) Grenzwert gegen +oo geht. An der Stelle 3 springt also die Funktion (von links nach rechts gesehen) von -oo nach +oo, sie hat dort eine Sprungstelle (Polstelle, Unstetigkeitsstelle).
Gr
mYthos |
maria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 11:42: |
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yup, verstanden... hätt ich eigentlich auch selber drauf kommen können. also wenn ich das richtig verstanden habe, dann gibt es verschiedene möglichketien das grenzverhalten auszurechnen:
1. testfoglen
2. h-methode
3. termumformung und anwendu der grenzwertsätze
und dann muss man, je nach funktion (wie es grad passt) eins der 3 möglichkeiten aussuchen. habe ich das richtig verstanden??
maria |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1884
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 12:07: |
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Hallo Maria
und dann muss man, je nach funktion (wie es grad passt) eins der 3 möglichkeiten aussuchen. habe ich das richtig verstanden??
Genau, aber du musst bei Methode 1 aufpassen. Die liefert dir nur einen Hinweis darauf wie das Grenzverhalten aussehen könnte. Es könnte sein, dass verschiedene Testfolgen auch verschiedene Grenzwerte liefern.
Bei deinen Funktionen oben kann so etwas nicht passieren, weil sie links und rechts von den zu untersuchenden Punkten stetig sind.
MfG
Christian
(Beitrag nachträglich am 23., August. 2005 von christian_s editiert) |
maria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 14:58: |
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ok, und jetgzt noch eine aufgabe, die ich zwar berechnet habe, aber nicht weiß, ob sie richtig ist.
gegeben sit die funktion f(x)=(x+2)*sign(x)'
berechnen sie den grenzwert lim (f(x0+h)) an der stelle x0=0. unter lim steht h-->0
ich habe das so gemacht:
RECHTSSEITIGER GRENZWERT:
=lim (h) weil x0=0 ist.
=lim (h+2)*sign(h) jetzt habe ich alle x durch h ersetzt# ich weiß zwar nicht warum, aber bei einem beispiel im buch war das GLAUBE ICH so... WENN das richtig ist, dass ich alle x durch h ersetzen muss, WIESO muss man das machen??
=(lim(h)+lim(2))*1
=2
LINKSSEITIGER GRENZWERT:#
=(lim(h)+lim(2))*(-1)
=-2
da links- und rechtsseitiger grenzwert nicht den selben wert aufweisen, gibt es für x0=0 keinen grenzwert.
könntet ihr vielleicht das ergebnis berichtigen, falls es falsch ist mir die nebenbei gestellten fragen beantworten??
wäre wirklich sehr nett von euch!!
maria |
maria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 15:29: |
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und gleich noch eine frage:
untersuchen sie die funktion f(x)=(x-4)/(2*x-3) auf stetigkeit.
Löunsg (aus dem mathebuch):
die funktion f ist für x=1,5 niht definiert und somit dort auch nicht stetig. (hier komme ich noch mit (also wenn es gar nicht den wert an einer stelle gibt, dann kann die funktion dort auch nicht stetig sein...)). Es sei x0 € R / (1,5)
das euro-zeichen steht für dieses "e", R steht für die reellken Zahlen und die klammer stehen für die geschweiften klammern. ich habe leider keine ahnung, was diese geheimen zahlen bedeuten sollen.
ok, dananch haben sie:
lim (f(x))=LIM ((x-4)/(2*x-3)) unter lim steht: x-->x0
= (x0-4)/(2x0-3)= f(x0)
Frage: x0= ist ja 1,5 oder??
ok, und dann die nächste frage:
#untersuchen sie die funtikon f auf setigkeit an der gegeben stelle x0.
a.) f(x)=x^2; x0= beliebige reelle Zahl#
b.) f(x)=c (c € R); x0= beliebige reellle Zahl#
c.) f(x) = 1/x; x0=2
d.) f(x) = (x^2+1)*sign x^2, x0=0
e,) f(x) = (1/x^2) für x ungleich 0
= 0 für x=0 x0=0
f.) f(x)= (x^2+2x-48)/(2x-12) für x ungleich 6
= 7 für x=6 x0=6
bitte erklärt mir wie die aufgaben gehen. falls nicht alle, wenigstens die einfachste und die schwierigste!!! BITTE!! Ihr könnt natürlich auch alle mit Lösungsweg angeben, das wäre besonders nett von euch... ich wette kapier die eine afugabe, die ihr mir erklärt, aber bei dem rest habe ich probleme...
also, wie gesagt, bitte helft mir!!#
maria |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 17:06: |
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Hi,
zur ersten Frage,
für sign(x) ist die Signumfunktion zu setzen:
Signumfunktion für reelle Zahlen:
Sie ordnet jeder reellen Zahl x ihr Vorzeichen sgn x (lat. signum - Zeichen) zu.
Dabei bedeutet "Vorzeichen" folgendes:
* Fuer positive Zahlen x ist sgn(x) = +1.
* Fuer negative Zahlen x ist sgn(x) = -1.
* Fuer x = 0 ist lt. Definition: sgn(0) = 0.
Bei der Berechnung des Grenzwertes für x -> x0, d.h. an der Stelle x0 - mit der h-Methode - wird das x NICHT durch h ersetzt, sondern durch (x0 + h) [rechts] oder (x0 - h) [links]! Damit ist x -> x0 gleichbedeutend mit h -> 0. h ist im Uebrigen immer groesser als Null.
Nur im Fall x0 = 0, wie es oben war, erscheint statt x eben das h.
Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte sind richtig.
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 17:22: |
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Zur 2. Frage:
Die geschweiften Klammern bedeuten Mengenklammern, das € - Zeichen heisst: ist Element von, \ heisst: ausgenommen (sh. Differenzmenge).
Somit ist dies so zu lesen:
x0 € IR \ {1,5}
x0 ist Element der reellen Zahlen, ausgenommen ist die Zahl 1,5, die nicht dazugehört. Diese Menge nennt man auch Definitionsmenge (Definitionsbereich).
Also bist du im Irrtum, wenn du meinst, x0 = 1,5, gerade dies trifft nicht zu! x bzw. x0 können jedoch alle anderen reellen Zahlen annehmen.
Daher ist für alle reellen x0 ausser 1,5 bei lim (f(x)) = lim [x -> x0] ((x - 4)/(2*x - 3)) statt x x0 einzusetzen, und er ist demnach (x0 - 4)/(2*x0 - 3) = f(x0). Somit ist die Funktion an allen Stellen des Definitionsbereiches stetig.
Gr
mYthos |
maria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 18:32: |
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ok, kannst du mir auch bei den später augeschriebenen aufgaben helfen??
a.) + b.) und c.) habe ich versucht selber zu lösen und habe raus, dass a) stetig ist an der Stelle x0; b.) ebenfalls, c.) ist aber nicht stetig.
ich habe noch nicht ganz verstanden, was dieses unter dem lim stehende zeichen bedeutet: z.b. x-->x0... was ist denn x0?? ist das immer das, was man nicht einsetzen kann und später dann irgendwie doch einsetzt (also <x0 und >x0?? verstehst du meine frage(n)...
bitte hilf/helft mir!! wäre euch wirklich sehr dankbar!!
ich werde WAHRSCHEINLICH niczht mehr heute zu den Aufgaben kommen, aber wäre nett, wenn ich bis morgen die ergebnisse/lösungswege hätte. ECHT, isst ganz dringend. natürlich wäre es besser, wenn heute noch jemand antwortet, FALLS ich dochnohc zu den aufgaben komme und dann noch wenn vorhandene Fragen stellen könnte.
ich hoffe ihr werdet mir wieder helfen!!!
maria
maria |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 23:43: |
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Es ist die Stetigkeit an einer Stelle x0 zu untersuchen und nicht die globale (im ganzen Def. bereich).
Daher ist
c.) f(x) = 1/x; x0 = 2 .. f(x0) = 1/2, stetig
(die Funktion ist nur an der Stelle 0 unstetig)
-------------------------------
d.) f(x) = (x^2 + 1)*sign(x^2)
Da sign(x^2) an allen Stellen ausser x0 = 0 gleich 1 ist, ist f(x0) = (x0^2 + 1), bei x = 0 ist f(0) = 0.
Der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert lim [x -> 0+0]bzw.[x -> 0-0](x^2 + 1)*sgn(x^2) ist jedoch lim [h -> 0](f(h)) = lim [h -> 0](h^2 + 1) = 1.
Dieser Wert unterscheidet sich vom Funktionswert f(0) = 0, daher liegt an dieser Stelle Unstetigkeit vor.
-------------------------------
e.) f(x) = (1/x^2) für x ungleich 0; f(x) = 0 für x = 0 (Stelle x0 = 0)
Der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert
lim [x -> 0+0]bzw.[x -> 0-0](1/x^2) ist + oo, f(0) = 0, daher unstetig an x = 0
-------------------------------
f.) f(x)= (x^2 + 2x - 48)/(2x - 12) für x ungleich 6; f(x) = 7 für x = 6 (Stelle x0 = 6)
Wir berechnen wieder den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert:
Setze x = 6 + h (bzw. x = 6 - h)
a) rechts:
lim [h -> 0] [((6 + h)^2 + 2*(6 + h) - 48)/(2*(6 + h) - 12)] =
= lim [h -> 0] [(14h + h^2)/(2h)] =
(h ausklammern und durch h kürzen!)
= lim [h -> 0] ((14 + h)/(2h)) = 7
b) links:
lim [h -> 0] [((6 - h)^2 + 2*(6 - h) - 48)/(2*(6 - h) - 12)] =
= lim [h -> 0] [(-14h + h^2)/(-2h)] =
(h ausklammern und durch h kürzen!)
= lim [h -> 0] ((-14 + h)/(-2h)) = 7
Der rechts- UND linksseitige Grenzwert ist 7 und dieser auch gleich dem Funktionswert, denn lt. Def. ist f(6) = 7! f ist an dieser Stelle stetig!
Hinweis:
Obwohl an der Stelle 6 der Nenner des Bruches Null wird und daher zunächst Unstetigkeit zu vermuten ist, ist die gegebene Funktion dort letztendlich stetig. Der Grund liegt darin, dass auch der Zähler bei x = 6 Null wird und daher der Funktionswert unbestimmt ist. Durch die Festlegung f(6) = 7 ist die ursprünglich vorhandene Unstetigkeit behoben (eine vorhandene Lücke ausgefüllt) worden (hebbare bzw. behobene Unstetigkeit).
Gr
mYthos |
maria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. August, 2005 - 11:46: |
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ok, du hälst mich jetzt bestimmt für total bescheuert, aber du musst mir bitte helfen. ich bin echt am verzweifeln: ich mache jetzt mal alle aufgaben, die ich nicht verstehe, nacheinander und schreibe genau auf, WAS ich nith verstehe, aber vorher muss noch eine frage geklärt werden:
ich habe noch nicht ganz verstanden, was dieses unter dem lim stehende zeichen bedeutet: z.b. x-->x0... was ist denn x0?? ist das immer das, was man nicht einsetzen kann und später dann irgendwie doch einsetzt (also <x0 und >x0 um de grenzwert an der stelle x0 herauszufinden?? verstehst du meine frage?
a.) f(x)= x²; x0= beliebige reelle Zahl
linksseitiger Grenzwert:
lim(x²)=lim((-1/n)²)... hier das problem ist, dass (-1/n)² gar keinen grenzwert hat. was soll ich denn jetzt machen??
rechtsseitiger grenzwert:
lim(x²)=lim ((1/n)²).. hier das gleiche problem
b.) f(x)=c; c € R; x0= beliebige reelle Zahl:
linksseitiger grenzwert:
lim(c)=lim(-1/n)=0
rechtsseitiger grenzwert:
lim(c)=lim(1/n)=0
die grenzwerte stimmen schon mal ein, also hat ist der grenzwert von f an der Stelle x0=0.
der grenzwert muss mit dem funktionswert von f an der stelle x=0 identisch sein:
f(0)=??? eigentlich müsste es ja c sein, aber ich weiß ja nicht, was c ist, also kann die funktion an der stelle 0 stetig sein, muss aber nicht, je nachdem wie c definiert ist.
c.) f(x)=1/x ; x0= 2 ich hätte jetzt erst nach dem grenzwert an stelle 2 gesucht, oder obs den überhaupt gibt:
linkseitiger grenzwert:
lim (x-->2; x<2) (1/x)= lim(x-->2; x<2)(1/(2-1/n)) = lim(x-->2; x<2)=0
beim rechtsseitigen grenzwert habe ich das gleiche gemacht nur mit 1/(2+1/n) und da habe ich auch 0 heraus.
also existiert der grenzwert an der stelle x0= 2 und er ist 0. dann muss ich ja gucken, ob er mit dem funktionswert übereinstimmt:
f(0)=1/0 das geht ja nicht, also ist er dort nicht stetig!!!
auf den rest habe ich im moment keine lust, denn er wird ja sowieso falsch sein. WENN ich das erst verstanden habe, dann verstehe ich bestimmt auch den rest!!
also flehe dich wirklich an: es ist bestimmt hart mir das zu erklären, aber es wäre wirklich lieb, wenn du mir wenigstens noch mal antwortest.
maria |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1493
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. August, 2005 - 16:14: |
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----Zitat Anfang-----
...
ich habe noch nicht ganz verstanden, was dieses unter dem lim stehende zeichen bedeutet: z.b. x-->x0... was ist denn x0?? ist das immer das, was man nicht einsetzen kann und später dann irgendwie doch einsetzt (also <x0 und >x0 um de grenzwert an der stelle x0 herauszufinden?? verstehst du meine frage?
----Zitat Ende-----
x -> x0 bedeutet: x strebt (geht) gegen x0, wobei x ein variabler Wert, x0 hingegen ein fester Wert ist; z. B.: x0 ist 2, wenn es heisst: x -> 2
Beiben wir noch kurz dabei, x soll also gegen 2 gehen (statt x0 wird im Moment 2 gesetzt). Wenn wir nun von rechts gegen 2 gehen wollen, ist es sinnvoll, statt x0 = 2 zunächst x0 = 2 + h zu setzen und dabei h gegen Null gehen zu lassen (wenn h zu Null wird, ist x0 wiederum 2). Wichtig ist: h > 0!
Damit man mit Zahlenfolgen arbeiten kann, ersetzt man in diesem Falle h durch < 1/n >. Die spitzen Klammern sind Folgenklammern; weil h -> 0 geht, muss zwangsläufig n -> oo gehen, d.h. < 1/n > ist eine Nullfolge.
Also wird x0 = 2 + (1/n) und statt x -> x0 bzw. x -> 2 kommt nach Einsetzen von (2 + 1/n) für x: n -> oo
Somit wird beispielsweise der rechtsseitige Limes der Funktion f(x) = x² an der Stelle 2 zu
lim [n -> oo](2 + (1/n))², und der
linksseitige Limes der Funktion f(x) = x² an der Stelle 2 zu
lim [n -> oo](2 - (1/n))²
(in deiner Rechnung a.) hast du jeweils die 2 unterschlagen)
In beiden Fällen ist der Grenzwert 4, weil 1/n und auch 1/n² für n - > oo gegen 0 gehen.
f(x) = x² ist daher an der Stelle 2 stetig. Nebenbei auch an allen anderen Stellen des Defintionsbereiches (IR), denn die obige Rechnung kannst du für verschiedene Werte von x0 genau so durchführen und daher allgemein für x0 (setze statt 2 einfach x0), und du wirst sehen, dass sich als Grenzwert x0² ergibt.
Merke dir nochmals: x0 ist immer - so wie 2, 0 oder 6 - eine (momentan) feste Stelle!
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Bei b.) f(x) = c (konstante Funktion) braucht man für x in den Funktionsterm gar nichts einsetzen, denn für jedes x € IR ist f(x) = c.
Auch die Limiten sind alle c:
lim [x -> x0](f(x)) = lim [x -> x0](c) = c
Die Funktion ist überall (an jeder beliebigen Stelle x0) stetig.
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c.) f(x)=1/x ; x0 = 2
lim[x -> 2+0](1/x) = lim[n -> oo](1/(2 + (1/n)) (v. rechts)
bzw.
lim[x -> 2-0](1/x) = lim[n -> oo](1/(2 - (1/n)) (v. links)
Da (1/n) -> 0, sind beide Limiten gleich 1/2 und die Funktion stetig an x0 = 2. Nur bei x0 = 0 ist die Funktion unstetig (warum?).
Die Schreibweise x -> 2+0 (x -> 2-0) ist symbolisch und bedeutet den rechts- bzw. linksseitigen Limes.
Gr
mYthos
P.S: Wenn du immer noch nicht durchblicken solltest, wäre es gut, du würdest dich registrieren und mir eine Mail oder PN (pers. Nachricht) senden. Ich (oder eventuell auch andere hier) helfen dir jedenfalls gerne weiter. Hast du ICQ oder einen anderen Messenger (Skype, MSN, Yahoo, ...), kann man auch dort noch diskutieren. |
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