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leon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. August, 2005 - 21:39: | 
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Hallo, wie euch das Thema schon verrät habe ich etwas bewiesen (mit Hilfe meines mathematikbuchs), aber ich weiß nicht, was ich bewiesen habe.
die aufgabae lautet: gegeben ist eine folge (an) mit an=(n+1)/(2*n+4)
a.) Stellen sie iene Vermutung auf, welche Zahl der Grenzwert der Folge ist.
b) überprüfen sie mittls Definition ... die Richtigkeit ihrer Vermutung. (Definition... besagt: Die reelee Zahl g heßt Grenzwert der Folge an, wenn für jede Zahl eta>0 die ungleichung Betrag von: an-g < eta von einer gewissen indexzahl an erfüllt ist.
also jetzt fängt der Beweis an, ich schreibe jetzt mal nicht alle schritte auf, sondern nur den 1. und den letzten scrhitt (ich nehme an, ihr wisst, wie das buch drauf kommt *G*):
Betrag von an-0,5 < eta nach n auflösen)
1/(2*eta)-2<n
für n>1/2*eta-2 gilt: betrag vonan-0,5<eta.
nach defintion... ist damit bewiesen, dass 0,5 der grenzwert von (an= ist.
was hat denn der beweis damit zu tun, dass der grenzwert 0,5 ist?? ich kapier dazu gar nicht. könntet ihr vielleicht ein paar worte dazu sagen, damit das alles ein bisschen klarer für mich wird??
BITTE HELFT MIR!!!
leon |
leon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. August, 2005 - 21:47: |
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ich meine, hätte ich eine andere zahl für 0,5 eingesetzt, z.b. 0,4 dann wäre doch auch nur so ein buchstabenkaudawelch rausgekommen...
wie gesagt: bitte helft mir!
leon |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1879
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. August, 2005 - 14:59: |
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Hallo Leon
Die Definition von Folgenkonvergenz ist vielleicht ein wenig verwirrend, wenn man sie das erste mal sieht 
Ich versuche mal ein wenig zu erklären was das ganze bedeutet(Statt eta benutze ich mal den Buchstaben e (epsilon), wie es häufig gemacht wird in Büchern)
Du musst dir zunächst einmal überlegen was Kovergenz überhaupt sein soll. Rein anschaulich bedeutet Konvergenz der Folge (an) gegen g ja, dass die Folgenglieder an beliebig nahe an g rankommen(oder sogar gleich g sind), sofern man nur n ausreichend groß wählt.
Das ist aber keine exakte mathematische Definition. Zu der kommen wir jetzt.
Du legst dir zunächst eine beliebige positive Zahl e>0 vor. Wenn jetzt die Folge (an) gegen g konvergiert, dann sollte es einen Index N geben, sodass die Folgenglieder ab aN von g um weniger als e abweichen.
Dazu machst du dir am besten mal eine Zeichnung.
Wähle ein normales Koordinatensystem mit den Indizes 1, 2, 3... auf der x-Achse. Als y-Werte nimmst du dir die zugehörigen Folgenglieder. Jetzt zeichnest du bei den Werten g-e und g+e auf der y-Achse Parallelen zur x-Achse. Du hast dann einen Streifen in deinem Koordinatensystem. Alle Folgenglieder, die in dem Streifen liegen, weichen vom Grenzwert g um weniger als e ab. Und die Definition oben sagt jetzt, dass ab einem gewissen N alle Folgenglieder in dem Streifen liegen, d.h. in gewisser Hinsicht nahe beim Grenzwert g.
Die Definition fordert nun weiter, dass du für alle e ein solches N findest.
Anschaulich bedeutet das, dass du den Streifen beliebig schmal machen kannst. Sobald du weit genug nach "rechts" gehst liegen trotzdem wieder alle Folgenglieder in dem Streifen drin.
Es ist klar, dass du bei kleinerem Streifen evtl. weiter nach rechts gehen musst, d.h. N kann von e abhängen.
Nun zu deinem Beispiel von oben.
Du legst dir ein e>0 vor. Als Grenzwert g vermutest du 0,5. Du willst jetzt zeigen, dass
|an-g|<e für alle n³N mit einem geeignet großen N.
Setzen wir erstmal alles ein
|(n+1)/(2*n+4)-1/2|<e
Offenbar ist (n+1)/(2*n+4)<1/2,also
|(n+1)/(2*n+4)-1/2|=1/2-(n+1)/(2*n+4) und die Ungleichung wird zu
1/2-(n+1)/(2*n+4)<e
Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung zu
n>1/(2e)-2
Das ist dein Ergebnis von oben, habe ich jetzt nicht weiter überprüft.
Naja, was sagt das jetzt aus?
Sobald n>1/(2e)-2 gewählt wird(hier kannst du N also explizit angeben, wähle etwa die kleinste natürliche Zahl größer 1/(2e)-2), weichen alle Folgenglieder an um weniger als e vom Grenzwert g=1/2 ab. Und das ist ja das was wir zeigen wollten.
Dabei solltest du noch beachten, dass wir für e keinen speziellen Wert eingesetzt haben. Obige Schritte gelten für jedes e>0, insbesondere also für beliebig kleine.
Wenn du statt 0,5 den Wert 0,4 einsetzt(0,4 ist nicht Grenzwert), wirst du die Gleichung
|(n+1)/(2*n+4)-0,4|<e nicht nach n auflösen können bzw. keine vernünftige Lösung erhalten. D.h. du findest auf keinen Fall ein N, sodass deine Folgenglieder an für alle n³N sehr wenig von 0,4 abweichen. Das ist klar, weil sie ja nahe bei 0,5 liegen
Ich hoffe mal, dass das ganze jetzt ein wenig verständlich ist.
MfG
Christian |
leon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. August, 2005 - 11:53: |
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DAs ist soooo net von dir, dass du das so ausführlich erklärt hast! du weißt gar niht wie dankbar ich dir dafür bin!!
leon |
leon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. August, 2005 - 11:55: |
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ach ja! ich habs sogar verstanden!! (Das muss schon was heißen *gg*) |
leon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. August, 2005 - 11:57: |
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ach ja, ich weiß eigentlich wie nett geschrieben wird (nett) das war nur ein tippfehler. nicht das ihr denkt, dass ich GAR NICHTS kann *g* |
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