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Bennydendemann (Bennydendemann)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann
Nummer des Beitrags: 99
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 14:36: | 
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Hallo, bitte �berpr�ft folgende Aufgaben von mir.
Ermittle die Extrempunkte. Verwende f�r dei hinreichende Bedingung die 2. Ableitung.
d) f(x)=8x^3-3x^2
f�(x)=24x^2-6x
f�(x)=0 => 24x^2-6x=0
x(24x-6)=0
x=-(1/4)
f��(x)=48x-6=-18 (x eingesetzt)
f(1/4)=-18<0 =>H(-1/4/-1/16)
e) f(x)=x^3-6x
f�(x)=3x^2-6
f�(x)=0=>3x^2-6=0
x^2=2
x=sqrt(2)
f��(sqrt(2))=6x=8,5>0=>T(sqrt(2)/-5,65)
f) f(x)=3x^3+2^2+1
f�(x)=9x^2+4x
f�(x)=0=>9x^2+4x=0
x(9x+4)=0
9x=-4
x= -(4/9)
f��(x)=18x+4=-4<0=>H(-(4/9)/(275/243)
g) f(x)x^3+3x^2-9x
=x^2+3x-9
f�(x)=2x+3
f�(x)=0>2x+3=0
x=-1,5
f��(x)=2>0=>T(-1,5/(135/8))
h) f(x)=4x^3-18x^2+15x+12
f�(x)=12x^2-36x+15
f�(x)=0=>12x^2-36x+15=0
=12x^2-36x=15
x(12x-36)=-15
12x=21
x=(7/4)
f��(x)=24x-36=6>0=>T((7/4)/(73/16))
Dankesch�n!
Ein Fragezeichen bedeutet f strich von und zwei Fragezeichen bedeuten f 2 strich von....Ich weiß nicht wieso er das nicht anzeigt. |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 13:40: |
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Hi Benny,
Vorbemerkung
"Ein Produkt mehrerer Faktoren hat immer dann den Wert "0", wenn einer der Faktoren der Wert "0" hat"
Dieser Satz funktioniert nur für die "0" und ist natürlich auf alle Faktoren anwendar.
Aufgabe d:
Zunächst hast Du einen Vorzeichenfehler gemacht.
xE1 = +(1/4)
Zum zweiten hast du die Lösung xE2=0 unterschlagen.
Für
xE(24xE-6) = 0
hast du nämlich den vorher angeführten Satz verwendet. d.h. du hast gesagt, dass der gesamte Term nur dann "0" wird, wenn einer der Faktoren "0" wird. Danach hast du aber nur den zweiten Faktor (24x-6) untersucht. Der erste Faktor (x) könnte aber aber auch "0" werden
Daher ist auch
xE2=0
eine gültige Lösung, die mit der 2. Ableitung auf Hochpunkt/Tiefpunkt zu untersuchen ist.
Aufgabe e:
Wenn
xE² = 2
dann gibt es zwei Lösungen
xE1 = + sqrt(2)
xE2 = - sqrt(2)
Auch diese zweite Lösung muß auf Hochpunkt/Tiefpunkt untersucht werden.
Aufgabe f:
wie schon in Aufgabe d hast du die Lösung xE=0 unterschlagen.
Aufgabe g:
Hier hast Du eine unzulässige Operation durchgeführt. Das Ausklammern des Faktors "x" macht nur dann Sinn, wenn man ein Produkt mit dem Wert "0" hat, und es auf die Faktoren reduzieren will. Hier hast du bereits den Funktionterm ausgeklammert und quasi "zu Null gesetzt". Das geht natürlich nicht. Zunächst musst du die erste Ableitung bilden und dann diese zu Null setzen. d.h.
f '(xE) = 9x² + 6x – 9 = 0
Die Nullstellen bestimmt man dann über quadratische Ergänzung oder pq-Formel (="Mitternachtsformel"), wie auch immer ihr es nennt …
Aufgabe h:
Das Ausklammern des Faktors "x" macht wie bereits erwähnt, nur dann Sinn, wenn der Wert des Produktes "0" beträgt. Bei "15" geht das nicht.
12x² - 36x + 15 = 0
muß über die pq-Formel o.ä. gelöst werden.
Zum Abschluß noch ein Tip. Auf der Hauptseite von zahlreich.de gibt es einen Links zu einem Funktionenplotter. Mit diesm Tool kannst du dir ganz einfach die Funktionsverläufe anzeigen lassen und dabei deine Ergebnisse auf Vollständigkeit und Plausibilität überprüfen. |
Bennydendemann (Bennydendemann)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann
Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 14:55: |
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Hallo,
folgendes verstehe ich nicht.
Zum zweiten hast du die L�sung xE2=0 unterschlagen.
F�r
xE(24xE-6) = 0
hast du n�mlich den vorher angef�hrten Satz verwendet. d.h. du hast gesagt, dass der gesamte Term nur dann "0" wird, wenn einer der Faktoren "0" wird. Danach hast du aber nur den zweiten Faktor (24x-6) untersucht. Der erste Faktor (x) k�nnte aber aber auch "0" werden
Daher ist auch
xE2=0
eine g�ltige L�sung, die mit der 2. Ableitung auf Hochpunkt/Tiefpunkt zu untersuchen ist.
Kannst du das bitte vorrechnen? Wenn ich x=0 setzte, ist das 0. Oder was meinst du? Bitte vorrechnen, verstehe ich nicht.
Bei Aufgabe f verstehe ich das dann logischerweise auch nicht, weil gleicher Fehler, bitte erkl�ren.
Die anderen Aufgaben hab ich verstanden was du meinst. Meine Antworten jetzt
f�r e
T(sqrt(2)/-5,65)
H(-sqrt(2)/5,65)
f�r g
T(1/-5)
H(-3/-27)
f�r h
T(2,5/-0,5)
H(0,5/15,5)
K�nntest du das auch noch pr�fen? Und bitte erkl�ren, wie du das bei d und f meinst, das verstehe ich n�mlich nicht.
Vielen Dank f�r deine M�he! |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 16:14: |
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Hi Benny,
Die notwendige Bedingung für ein lokales Maximum lautet:
f '(xE) = 0
Für die Aufgabe d) bedeutet das:
24xE² - 6xE = 0
An dieser Stelle kann man sich entscheiden, wie man die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmt. Man könnte ganz normal die pq-Formel anwenden:
xE – (1/4) xE = 0 | durch 24 geteilt
xE1,2 = 1/8 +/- W(1/64 + 0)
xE1 = 2/8 = 1/4
xE2 = 0
Normalerweise entscheidet man sich in diesem Fall für das schnellere und elegantere Ausklammern des Faktors "x". d.h.
( 24xE – 6) xE = 0
Dieses Produkt nimmt nur dann den Wert "0" an, wenn einer der Faktoren den Wert "0" hat. Also setzt man beide Faktoren unabhängig zu "0"
1. Faktor:
(24xE1 – 6) = 0
Dies führt zur ersten Lösung
xE1 = 1/4
2. Faktor:
xE = 0
Dies führt unmittelbar zur zweiten Lösung xE2 = 0.
Das heißt, das der Wert xE2=0 die notwendige Bedingung für ein lokales Maximum erfüllt. An dem Funktionwert x=0 hat die erste Ableitung der Funktion den Wert "0" und somit hat die Funktion an dieser Stelle ein lokales Maximum.
Für die hinreichende Bedingung von Hoch- und Tiefpunkten sind beide Extremwerte in die zweite Ableitung einzusetzen:
f ''(x) = 48 x – 6
f ''(xE1) = 6 >0, d.h. Tiefpunkt
f ''(xE2) = -6 <0, d.h. Hochpunkt
Die Funktionswerte der Extremwerte bestimmen sich wie folgt:
f(xE1) = -0,0625
f(xE2) = 0
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Bennydendemann (Bennydendemann)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 11:53: |
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Hallo,
WOW! Ich danke dir vielmals f�r deine M�he. d.h. bei Aufgabe f w�re dann noch ein Tiefpunkt bei (0/1), wenn ich dich richtig verstanden habe.
Woher wei� ich denn das x=0 auch eine L�sung ist? Ich habe das jetzt so verstanden das, wenn man in der 1. Ableitung noch x� und x hat und sonst nichts, dann x=0 auch eine L�sung ist, sehe ich das richtig? Wenn du mir die Frage noch beantworten k�nntest, w�re ich gl�cklich. *g*
Vielen, vielen Dank f�r deine M�he!
Frohe Pfingsten! (Oder was man da sagt 8-)) |
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