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Basti1893 (Basti1893)
Neues Mitglied
Benutzername: Basti1893
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 20:51: | 
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Hi,
ich habe ein ganz großes Problem bei der folgenden Aufgabe die ich untersuchen soll. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Untersuchen Sie die Folge mit dem allgemeinen Glied
a_n = (7n + 8)/(9n + 10)
auf Monotonie
Gruß
Basti |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1352
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. März, 2005 - 00:00: |
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Hallo,
bestimme zunächst einige Glieder der Folge:
< 15/19 , 11/14 , 29/37 , ... >
daraus kann durch Vergleich der Brüche streng fallende Monotonie vermutet werden. Wir haben nun zu beweisen, dass für alle n € N gilt:
a_(n+1) < a_n, d.h. die Ungleichung
(7*(n + 1) + 8)/(9*(n + 1) + 10) < (7n + 8)/(9n + 10)
die Lösungsmenge L = N besitzt.
(7n + 15)/(9n + 19) < (7n + 8)/(9n + 10)
mit den Nennern ( > 0 ) multiplizieren
63n² + 135n + 70n + 150 < 63n² + 72n + 133n + 152
205n < 205n + 2 | -204n
[NICHT alle n wegfallen lassen, sonst gibt es keine Aussageform mehr für n!]
n < n + 2
Diese Ungleichung gilt tatsächlich für alle n € N, L = N, somit ist die Folge - wenn auch sehr langsam - streng monoton fallend!
Gr
mYthos |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1097
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. März, 2005 - 13:06: |
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Alternative Möglichkeit: Schreibe den Bruch um.
an = (7n + 8)/(9n + 10) = (7/9)(9n+8*9/7) / (9n+10)
= (7/9)(9n+10+(2/7)) / (9n+10) = (7/9)[1+(2/7)/(9n+10)]
= (7/9) + 2/(9(9n+10))
Der letzte Summand wird mit wachsendem n immer kleiner, folglich ist die Folge monoton fallend gegen (7/9) |
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