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Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 18:36: | 
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Hallo!
Ich habe zwei Aufgaben zur vollständigen Induktion bekommen. Ich habe aber noch Probleme mit diesem Beweisverfahren. wäre nett wenn ihr mir helfen könnt. brauche die aufgaben bis morgen abend. Der Lösungsweg ist mir wichtig.
Die Aufgaben:
1) 4+10+16+...+(6n+4)=(n+1)*(3n+4)
2) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=n(n+1)*(n+2)/3
n(n+1)*(n+2) <- ist der Zähler /3 <- Nenner |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:12: |
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1) ersteinmal eine Summenformel:
\Sigma\(von i=0 bis n)(6i+4)
Ind. Anfang:
n=0:
\Sigma\(von i=0 bis 0)(6i+4)=4
(0+1)(3*0+4)=4
4=4 wahre Aussage
Ind. Schritt:
-Ind.Voraussetzung:
n=k:
\Sigma\(von i=0 bis k)(6i+4)=(k+1)*(3k+4)
-Ind.Behauptung:
n=k+1:
\Sigma\(von i=0 bis k+1)(6i+4)=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
Beweis:
nun von der Voraussetzung zur Behauptung - daher als 1. die allgemeine Formel mit eingesetztem k nehmen und dann das nächste Glied mit (k+1) an die Summe anhängen
(k+1)*(3k+4)+6(k+1)+4=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
irgendwie die Voraussetzung so umstellen, dass man zur Behauptung kommt:
3k²+7k+4+6k+10=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
3k²+13k+14=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
Nebenrechnung:
#3(k+1)(k+2)=3k²+9k+6
#3k²+13k+14-(3k²+9k+6)=4k+8
3(k+1)(k+2)+4k+8=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
3(k+1)(k+2)+4*(k+2)=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
(k+2)*(3(k+1)+4)=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
(k+1+1)*(3(k+1)+4)=(k+1+1)*(3(k+1)+4)
w.z.b.w.
meine Umstellung war sicherlich nicht die Beste, aber immerhin hats funktioniert ;)
mfG
Tux
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 490
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:21: |
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2) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=n(n+1)*(n+2)/3
Wieder deine Punkte in eine Summenformel fassen:
\Sigma\(von i=1 bis n)(i*(i+1))=n(n+1)*(n+2)/3
Ind. Anfang:
n=1:
\Sigma\(von i=1 bis 1)(i*(i+1))=2
1(1+1)*(1+2)/3=2
2=2 wahre Aussage
Ind. Schritt:
-Ind. Voraussetzung:
n=k
\Sigma\(von i=1 bis k)(i*(i+1))=k(k+1)*(k+2)/3
-Ind. Behauptung:
n=k+1
\Sigma\(von i=1 bis k+1)(i*(i+1))=(k+1)(k+1+1)*(k+1+2)/3
Beweis:
k(k+1)*(k+2)/3+(k+1)*(k+1+1)=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3
(k(k+1)*(k+2)+3(k+1)*(k+1+1))/3=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3
ausklammern von (k+1)*(k+2)
(k+1)*(k+2)*(k+3)/3=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3
(k+1)*(k+1+1)*(k+1+2)/3=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3
w.z.b.w.
mfG
Tux
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