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Bitte um Überprüfung und Korrektur, f...

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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 16:42:   Beitrag drucken

Hallo,

bitte überprüft und korrigiert ggf. die folgenden Aufgaben. Vielen Dank im Voraus! Bei zwei Aufgaben benötige ich etwa Hilfe, da ich nicht weiß, wie ich die rechnen muss. Danke nochmals im Voraus!

Bestimme mittels Termumformung lim f(x) für x->0

e) f(x)=x²-6x+9 / x-3 = (x-3)² / x-3 = x-3

x0= 3

lim f(x) für x->0 = 0

f) f(x)=4x²+4x+1 / 4x+2 = ??? Hier weiß ich keinen Anfang, bitte helft mir. Danke!

Bestimme die Nullstellen!

a) 4-(1-6)x³ = x(4-(1/6)x²) = 4- (1/6)x² = 0 |-4
(-1/6)x² = -4 |*-6
x² = 24 | sqrt
x = 4,89 v x = -4,89

b) (1/9)x³-3x = x((1/9)x²-3) = (1/9)x²-3 = 0 |+3
(1/9)x² = 3 | *9
x² = 27 |sqrt
x = 5,196 v x = -5,196

c) (1/4)x³-2x = x((1/4)x²-2) = (1/4)x²-2 = 0 |+2
(1/4)x² = 2 |*4
x² = 8 |sqrt
x = 2,82 v x = -2,82

d) (1/6)x³+4x = x((1/6)x²+4) = (1/6)x²+4 = 0 |-4
(1/6)x² = -4 |*6
x² = -24 |sqrt
X = X, Wurzel aus Minus v x = 4,89

e) (1/10)x³+(1/2)x = (x(1/10)x²+(1/2)) = (1/10)x²+(1/2) = 0 |-(1/2)
(1/10)x² = -(1/2) |*10
x² = -5 |sqrt
x = X, Wurzel aus Minus v x = 2,23

f) (1/2)x²-(1/8)x³ = x((1/2)x-(1/8)x²)
(1/2)x-(1/8)x²

(1/8)[4x-x²+4-4]
(1/8)[(x+4)²-4]
(1/8)(x+4)²-0,5
(1/8)x²+x+15,5
x((1/8)x+1+15,5)

(1/8)x+16,5 = 0 |-16,5
(1/8x) = -16,5 |*8
x = -132

g) (1/6)x³+(1/4)x² = x((1/6)x²+(1/4)x)
(1/6)x²+(1/4)x
(1/6)[x²+1,5x+0,75²-0,5625]
(1/6)[x²+1,5x+0,5625-0,5625]
(1/6)[(x+0,5625)²-0,9375]
(1/6)x²+0,1875x-0,62
x((1/6)x+0,1875-0,62)
(1/6)x-0,43 = 0 |+0,43
(1/6)x = 0,43 |*6
x = 2,60

h) (1/6)x³-3x²+2x
x((1/6)x²-3x+2)
(1/6)x²-3x+2
(1/6)[x²-18x-81+2+81]
(1/6)[(x-81)²+83]
(1/6)(x-81)²+13,83
(1/6)x²+182,25x-6547,17
x((1/6)x+182,25-6547,17)
(1/6)x-6528,92 = 0 |+6528,92
(1/6)x = 6528,92 |*6
x = 39173,52

i) (1/3)x³-(1/16)x^4
x((1/3)x²-(1/16)x³)
Und nun? Wie soll das nun weitergehen? Quadratische Ergänzung ist nicht möglich und ich kann ja wohl kaum noch ein X ausklammern, oder?

Danke im Voraus!
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1077
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 17:51:   Beitrag drucken

e) falsch. Du hast richtig erkannt, daß f(x)=x-3 für x¹3. Damit ist aber limx->0 f(x) = 0-3 = -3

f) f(x)= (2x+1)² / (2(2x+1)) = (1/2)(2x+1)
=> limx->0 f(x) = 1/2

Nullstellen:
a) bitte noch einmal die Aufgabenstellung überprüfen. Sie sieht recht merkwürdig aus. (Du kannst beispielsweise nicht einfach x ausklammern, wenn bei der 4 kein x ist)

b) prinzipiell richtig, allerdings darfst Du das x in der ersten Gleichung nicht so einfach weglassen. Du folgerst vielmehr, daß x=0 eine Nullstelle ist und für x=/=0 der andere Faktor ((1/9)x²-3) Null werden muss.

c) selber fehler wie b)

d) siehe b) und zusätzlich: keine weitere Lösung. (Wurzel aus negativer Zahl ist nicht reell)

e) siehe d)

f) x² ausklammern. Deine Umformungen kann ich nicht in Zusammenhang mit der Aufgabe bringen.

g) siehe f)

h) Binomi falsch angewendet. Einfacher wäre es statt x gleich (1/6)x auszuklammern.

(1/6)x³-3x²+2x = (1/6)x(x²-18x+12) = (1/6)x((x-9)²+12-81)
=> x=0

i) x³ ausklammern
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Analysist (Analysist)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist

Nummer des Beitrags: 333
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 17:54:   Beitrag drucken

Hallo,

e) Der Grenzwert von f(x) für x gegen Null wäre -3. Derscheint mir aber nicht interessant zu sein, interessanter ist der Grenzwert für x gegen 3, da f dort nicht definiert ist. Diesen kann man nach deinem Kürzen durch Einsetzen bestimmen, es ergibt sich Null als Grenzwert an der Stelle 3. Es handelt sich um eine stetig hebbare Lücke, d.h. nur in diesem einen Punkt (3/0) hat der Funktionsgraph (eine Gerade) eine Lücke.

f) Polynomdivision ist am einfachsten (wie schriftlich dividieren)
(4x²+4x+1) / (4x+2)=x+1/2
-(4x²+2x)
---------
2x+1
-(2x+1)
-----------
0
Die spannende Stelle ist hier -1/2, als Grenzwert ergibt sich dann Null (Rest analog zu e))

bei a) funktioniert das Ausklammern nicht, wenn die Aufgabenstellung so lautet:
4-(1/6)x³ = 0
4=1/6x³
x³=24
x=dritte Wurzel aus 24 (24^(1/3))

b) ist rechnerisch korrekt, x=0 ist aber auch Lösung!
Achtung Schreibweise!
(1/9)x³-3x = 0
x((1/9)x²-3) = 0
(x=0) oder (1/9)x²-3 = 0 |+3
(x=0) oder(1/9)x² = 3 | *9
(x=0) oder x² = 27 |sqrt
(x=0) oder x = 5,196 v x = -5,196

c) Schreibweise, Null als Lösung (wie b)

d) hat nur die Null als Lösung, Wurzel aus -24 ist im Reellen nicht definiert

e)(1/10)x³+(1/2)x = 0
x((1/10)x²+(1/2)) = 0
(x=0) oder (1/10)x²+(1/2) = 0 |-(1/2)
(x=0) oder (1/10)x² = -(1/2) |*10
(x=0) oder x² = -5 |sqrt
(x=0) als einzige Lösung

f) direkt (1/2)x^2 ausklammern!
(1/2)x²-(1/8)x³ =0
(1/2)x² (1-(1/4)x)= 0
x=0 oder 1=(1/4)x
x=0 oder x=4
In deiner (nicht benötigten) quadratischen Ergänzung ist dir ein Fehler unterlaufen, x^2-4x+4=(x-2)^2

g) wie f)
(1/6)x³+(1/4)x² = 0
x²((1/6)x+(1/4))=0
x=0 oder 1/6x=-1/4
x=0 oder x=-3/2

h) Fehler beim Ausklammern
(1/6)x³-3x²+2x =0
x((1/6)x²-3x+2) =0
x=0 oder (1/6)x²-3x+2
x=0 oder (1/6)[x²-18x+81+12-81]=0 Fehler 1 und 2!!!
x=0 oder (1/6)[(x-9)²-69] Fehler 3!!!
x=0 oder x=9+-SQRT(69)
x=0 oder x=17,31 oder 0,69

i) direkt x^3 ausklammern
(1/3)x³-(1/16)x^4 =0
x^3 ((1/3)-(1/16)x)=0
x=0 oder 1/3)-(1/16)x=0
x=0 oder x=16/3

Gruß
Peter
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 13:13:   Beitrag drucken

Vielen Dank an euch beide!

Wobei mir das von Peter mehr geholfen hat, da ich die Erklärungen von Ingo nicht so ganz verstanden habe. Trotzdem natürlich auch danke an Ingo.

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