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Herbsthase (Herbsthase)
Neues Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 08:20: | 
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Hallo...
Vielleicht kann mir hier einer helfen... Wir haben eine Funktion bekommen (f(x)=4-0,5x^2) und einen Punkt (0|6)... Jetzt ist die Aufgabe eine Tangente zur Funktion zu finden, die ducrh den Punkt (0|6) läuft...
Ich habe bereits einen Weg dafür gefunden, indem ich einfach beide Gleichungen aslo f(x) und t(x), die Tangentengleichung, gleichsetze, bekomme auch ein Ergebnis (t(x)=2x+6 oder t(x)=-2x+6) aber mein Mathematiklehrer meinte es gäbe zwei Wege dieses zu brechnen und wir sollten doch einen Weg finden, der eine Leistungskurses würdig ist :-)... Also vielleicht kann mir ja jemand sagen, wie ich das noch auf eine andere Art lösen kann...
Danke schon mal im Voraus |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2672
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 08:55: |
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Vermutlich hast du jene(n) Punkt(e) auf der Parabel gesucht
für den/die die Tangente durch (0 | 6) geht.
Die
Tangente ist aber auch der Grenzfall einer Sekante -
also jene Gerade durch (0 | 6) die f(x) nur einmal
schneidet. Suche also jene Steigung für
die
Gerade = Parabel nur eine Lösung hat
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Herbsthase (Herbsthase)
Neues Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 09:05: |
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hmmm... Ich muß gestehen, daß ich das nicht verstanden habe...
Der erste Weg war, daß Ich f(x) und t(x) gleichgesetzt habe, dann kam ich zu einer quadratischen Gleichung und habe unter der Wurzel dafür gesorgt, daß ich 0 stehen habe, damit nur eine Lösung herauskommt. Dadurch habe ich dann meine Tangentengleichung herausbekommen. Dann habe ich den Berührpunkt berechnet, der dann bei (-2|2) liegt. Wir haben immer nur die linke Seiet der Parabel betrachtet, deshalb auch immer nur eine Lösung. Aber dieser Weg sei nicht immer durchführbar, deshalb sollen wir jetzt etwas kompliziertes :-), aber auch immer anwendbares Verfahren suchen...
Mit Ableitung von f(x) komm eich auch nicht wirklich weiter. Oder mache ich irgendwo einen gravierenden Denkfehler??? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2673
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 09:57: |
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f'(x) = -x
==>
Gleichung tp(x) der Tangente im Punkt x=p
ist
tp(x) = f(p) + (x - p)*f'(p)
und
nun ist p so zu bestimmen daß tp(0) = 6 gilt
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Herbsthase (Herbsthase)
Neues Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 10:14: |
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tschuldigung, wenn ich ein wenig auf dem schlauch stehe... ich kann diese rechnung jetzt zwar machen, aber wi komme ich dahin??? möchte ganz gerne verstehen, wie du drauf gekommen bist... oder kann ich das irgendwo nachlesen, dann mußte nicht soviel schreiben :-) |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2674
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 10:37: |
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im Punkt ( p, f(p) ) ist die Ableitung f'(p),
das
ist die Steigung der Tangente,
tp habe ich als "Punkt-Richtungsform"
angegeben. Zeichne Dir doch an irgeneine Kurve
eine Tangente ("Steigungs3eck") und überleg Dir dann deren Gleichung.
Die
Tangente soll durch den Punkt (0 | 6) gehen,
also muß für die Tangente bei x=0 das "y"=tp(0) = 6 sein.
(Beitrag nachträglich am 23., Februar. 2005 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Herbsthase (Herbsthase)
Neues Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 11:25: |
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ok... habe es jetzt verstanden... und werde das gleich mal ausprobieren :-)
vielen dank |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4787
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 18:02: |
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Hi
Es gibt selbstverständlich mehr als zwei Wege,
diese Aufgabe zu lösen.
Ich zeige Dir eine Methode, die gehobenen Ansprüchen
genügt und mit der die Aufgabe beinahe im Kopf gelöst
werden kann.
Dein Lehrer wird Freude daran haben.
Für alle Tangenten einer Parabel gilt der folgende Satz,
der in diesem Forum auch schon allgemein bewiesen
wurde.
t sei eine Tangente mit B als Berührungspunkt
Die Gerade a sei die Achse der Parabel,
S der Scheitel
(a ist eine Symmetriegerade der Kurve und schneidet
die Parabel in S);
t schneidet a in A .
C sei die Normalprojektion von B auf die Achse a, d.h.
die Senkrechte durch B zu a schneidet a in C.
Dann lautet der Satz schlicht und einfach so:
Der Scheitel S ist der Mittelpunkt der Strecke AC.
Man mache eine Figur und trage die Punkte ein!
Bei der von Dir vorgelegten Parabel ist die y-Achse
die Parabelachse a.
Der Schnittpunkt A der gesuchten Tangente t mit a
ist der gegebene Punkt A(0/6).
Der Scheitel S ist der Schnittpunkt der Parabel
mit der y-Achse, also gilt: S(0/4).
Daraus folgt nach dem Satz:
die y-Koordinate von C ist 2, also C(0/2)
somit hat B ebenfalls die y-Koordinate 2;
daraus folgt nach der Parabelgleichung:
xB = plus /minus 2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Herbsthase (Herbsthase)
Neues Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 08:41: |
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Dieser Weg ist natürlich auch klasse... Ich glaube der wird tatsächlich sehr begeistert sein...
Also starte ich hiermit den Aufruf alle möglichen Wege diese Aufgabe zu lösen einfach mal zu posten
Also danke nochmal an euch zwei... |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4788
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 09:34: |
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Hi Herbsthase
Wenn schon, dann schon!
Es geht jetzt um das Renommee dieses Forums.
Um dieses etwas zu polieren, gebe ich noch eine Lösungsmethode
zum Dessert.
Bis jetzt ist nämlich der Begriff „Diskriminantenmethode“ noch nicht
gefallen; das soll schleunigst nachgeholt werden.
Wir legen wieder eine beliebige Gerade g (Steigung m) durch den
gegebenen Punkt A(0/6)
Gleichung von g: y = 6 + m x.
Der Schnitt von g mit der Parabel führt algebraisch auf die folgende
(vereinfachte) quadratische Gleichung für die Abszissen x1, x2
der Schnittpunkte S1,S2:
x^2 + 2 m x + 4 = 0.
Damit g zur Tangente wird, fordern wir, dass die beiden Schnittpunkte
zusammenfallen, die Gleichung also eine Doppellösung (x1 = x2) habe.
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Diskriminante D der Gleichung
null ist.
Berechne D, und setze D = 0:
D = (2 m)^2 – 4 * 4 = 0
Daraus m1 = 2, m2 = - 2
wie gehabt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Herbsthase (Herbsthase)
Junior Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 11:01: |
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ui... so langsam macht es spaß... hätte gar nicht gedacht, daß es so viele möglichkeiten gibt diese aufgabe zu lösen... ich glaube so langsam kann ich eindruck schinden  und das beste ist auch noch, daß ich das alles verstehe, aber von selbst nie drauf gekommen wäre :-) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4789
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 12:41: |
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Hi Herbsthase
Um Deine Begeisterung noch weiter zu fördern, präsentiere
ich hier eine weitere Lösungsmethode Deiner Aufgabe.
Diese beruht auf der so genannten Polarentheorie.
Zu einem gegebenen Punkt Po(xo/yo) als „Pol“
gibt es die so genannte „Polare“ po, welche die Parabel
in zwei Punkten P1, P2 so schneidet, dass diese
Schnittpunkte gerade die Berührungspunkte der von Po
an die Parabel gelegten Tangenten t1 und t2 sind,
sofern es solche Tangenten überhaupt gibt.
Es fragt sich nun, wie man die Gleichung dieser Polaren findet,
wenn die Gleichung der Parabelgleichung vorliegt.
Dies gelingt mit einem Verfahren, das man Polarisation
der Gleichung zweiten Grades nennt.
Mechanisch geht das so:
Ersetze in der Parabelgleichung
x^2 durch x1 x
y^2 durch y1 y
x durch ½(x+x1)
y durch ½(y+y1)
Das Andere lasse stehen.
Durch dieses Verfahren
entsteht aus der Parabelgleichung
die Polarengleichung mit P1(x1/y1) als Pol.
Tun wir das!
Parabelgleichung: y = 4 – 0,5 x^2
Daraus wird: ½(y+y1) = 4 – 0,5 x1 x
als Gleichung der Polaren p1.
Als Pol P1 für die vorliegende Situation wählen wir
den gegebenen Punkt A(0/6); also ist oben
x1 durch 0, y1 durch 6 zu ersetzen.
Als Gleichung für die Polare p1 kommt:
½(y+6) = 4 – 0 x = 4
Die Polare p1 hat somit die einfache Gleichung y = 2;
p1 ist die Parallele zur x-Achse im Abstand 2,
somit ist der y-Wert der Berührpunkte 2 : y1 = y2 = 2.
Daraus folgt aus der Parabelgleichung wiederum
x1 = 2, x2 = -2;
das wissen wir alles schon.
Beruhigend ist, dass alle Methoden dasselbe Resultat liefern.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Herbsthase (Herbsthase)
Junior Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 21:12: |
|
hmmm... bin erst heute wieder nachhause gekommen und habe mir das hiuer gleich mal durchgelesen... aber nach drei stunden habe ich mir dann gedacht, legst das alles mal beiseite, verstehst du eh nicht :-)
ich glaube das setzt mehr dinge voraus, als ich im augenblick beherrsche, oder aber ich bin noch so entspannt vom wochenende, daß ich mathe schon wieder vollkommen verdrängt habe :-)
naja... vielleicht kannst das noch ein bißchen näher erläutern, hatte nämlich noch nichts mit polaren... jedenfalls nicht unter dem begriff :-) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4808
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 14:11: |
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Hi Herbsthase
Es spricht für Dich, dass Du Dich hartnäckig mit der Aufgabe beschäftigt
hast.
Aber ich hätte Dich vorwarnen sollen!
Es ist heute nicht mehr üblich, diesen Stoff an Mittelschulen zu behandeln,
auch nicht in Leistungskursen.
Es wäre eine längere Vorbereitung nötig, damit jeder Schritt verstanden
werden kann.
Darum lassen wir die Angelegenheit auf sich beruhen.
Ich hatte einfach den sportlichen Ehrgeiz, möglichst viele Methoden
herauszufinden, und dazu gesellte sich auch die Methode mit der Polaren.
Nichts für ungut.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Herbsthase (Herbsthase)
Junior Mitglied
Benutzername: Herbsthase
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 21:39: |
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ich werde mich mal kundig machen... gibt ja auch noch was wie bibliotheken und werde dann versuichen das ganze zu verstehen... mag es nicht gerne, wenn es aufgaben bzw. lösungen gibt, die ich nicht verstehe... :-)
wenn ich dann weiß worum es geht, sage ich nochmal bescheid :-) |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 20:16: |
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Hallo Herbsthase,
Du könntest auch hier im Archiv auf die Suche gehen, da findest Du einiges zu diesem Thema!
Manchmal ist es auch in guten Schulbüchern zu finden, die einen Geometer als (Mit-)Autor haben!
liebe Grüße
elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4819
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 20:32: |
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Hi Herbsthase
Das ist ein sehr guter Rat von elsa
Im Atchiv findest Du auch die folgende nette Ballade
Die Ballade vom ehrgeizigen Pol
Wie küssten sich beide so innig,
In heisser Liebe entbrannt,
Der Pol und seine Polare,
Auf des Kreises blühendem Rand!
Doch es zog ihn ins Innre des Kreises,
Da ward er gar rasch prominent,
Er glänzte als hohes Polarlicht, -
Doch lebten sie nunmehr getrennt.
Es zog immer mehr ihn zum Zentrum,
Der Ehrgeiz verlockte ihn sehr,
Doch seine schöne Polare
Entschwand ihm mehr und mehr.
Karriere, oh, stolze Karriere!
Bald wurden die Stimmen gezählt;
Da ward er zum Mittelpunkte
Des grossen Kreises gewählt.
Doch seine liebe Polare
- Er hatte sie immerhin gern -
War ihm nun ganz entschwunden,
Sie war unendlich fern.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4825
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 18:29: |
|
Hi
Nochmals ein Versuch, die Ballade vom ehrgeizigen Pol
ohne Tippfehler zu senden.
Die Ballade dient als Test dafür, ob die Studierenden
die Grundbegriffe der Polarentheorie beim Kreis
verstanden haben.
Zunächst ist die Rede davon, dass der Pol auf der
Kreisperipherie liegt.
Dann nämlich fallen Pol P und Polare p zusammen.
Die Kreistangente ist die Polare, der Berührungspunkt ihr Pol.
Bewegt sich der Pol im Inneren des Kreises auf dessen
Mittelpunkt M zu, so hat die Polare mit dem Kreis keinen
Punkt gemeinsam; ihr Abstand von M wächst und wächst.
So laufen Pol und Polare auseinander, ob sie es wollen oder
nicht. Dabei steht die Polare p während der ganzen Fahrt
auf der Geraden MP senkrecht!
Fällt der Pol mit M zusammen, so ist die Polare zur unendlich
fernen Gerade der Ebene geworden; eine ziemlich böse Sache,
jedenfalls für den Pol.
Die Ballade vom ehrgeizigen Pol
Wie küssten sich beide so innig,
In heisser Liebe entbrannt,
Der Pol und seine Polare,
Auf des Kreises blühendem Rand!
Doch es zog ihn ins Innre des Kreises,
Da ward er gar rasch prominent,
Er glänzte als hohes Polarlicht, -
Doch lebten sie nunmehr getrennt.
Es zog immer mehr ihn zum Zentrum,
Der Ehrgeiz verlockte ihn sehr,
Doch seine schöne Polare
Entschwand ihm mehr und mehr.
Karriere, oh, stolze Karriere!
Bald wurden die Stimmen gezählt;
Da ward er zum Mittelpunkte
Des grossen Kreises gewählt.
Doch seine liebe Polare
- Er hatte sie immerhin gern -
War ihm nun ganz entschwunden,
Sie war unendlich fern.
Mit freundlichen Grüss
en
H.R.Moser,megamath |
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