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Theresia10 (Theresia10)
Neues Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 15:17: | 
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hi,
gegeben sind zwei Ebenen E1 und E2;
man berechne die Winkelsymmetralebenen,
zuerst allgemein beschreiben, dann mit folgenden Daten:
E1: 2x-y+2z=4
E2: 4x+5y-20z=8
Ich bitte euch sehr um Denkanstösse!
theresia |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1131
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 16:24: |
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die beiden Ebenen haben eine gemeinsame Gerade => Schnittgerade; deine beiden Winkelsymetralen bekommst Du durch Addition bzw. Subtraktion der Einheitsvektoren der Normalvektoren der Ebenen und einem Punkt der Schnittgerade als Angelpunkt;
es genügt ein gemeinsamer Punkt, leicht gefunden (2|0|0)
daher deine beiden Winkelsymmetralebenen:
(1/3*(2; -1; 2) +/- 1/21*(4; 5; -20)) * [x - (2;0;0)] = 0
(Beitrag nachträglich am 17., Februar. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Theresia10 (Theresia10)
Neues Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 16:29: |
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Danke für die rasche Antwort, ich werde das einmal überdenken!!
Gruß
Theresia |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4767
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 16:41: |
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Hi Theresia
Ich nehme an, dass der Begriff der
Winkelsymmetralebene mit demjenigen der
Winkelhalbierungsebene übereinstimmt.
Die Sprechweise ist nicht in allen Landesgegenden
dieselbe.
Item.
Um diese Ebenen zu ermitteln, realisieren wir die
folgende Idee des geometrischen Ortes:
Ein laufender Punkt P einer der gesuchten Ebenen W
hat von den gegebenen Ebenen E1 und E2
je gleiche Abstände.
Setzt man diese Abstände entgegengesetzt gleich an,
so erhält man eine zweite Winkelsymmetrale W2
Die Abstände werden mit Hilfe der
Hesseschen Normalformen der Ebenen E1 und E2
berechnet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,mgamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4768
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 17:44: |
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Hi Theresia
Probiere, ob Du mit der erwähnten Methode
die beiden Ebenen W1 und W2 erhältst!
W1: 5 x – 6 y + 17 z – 10 = 0
W2: 9 x – y – 3z – 18 = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Theresia10 (Theresia10)
Neues Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 17:46: |
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ja, danke, wir sollten es auf 2 Arten machen, wahrscheinlich ist damit auch diese gemeint. Aber ich komm da leider nicht so ganz mit, könntest du so nett sein und es mir genauer erklären?
viele Grüße
Theresia |
Theresia10 (Theresia10)
Neues Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 18:39: |
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hallo Megamath,
diese Ergebnisse habe ich auch, aber mit der ersten Methode von Mainzimann. Deine Methode ist mir noch nicht so ganz klar, obwohl ich jetzt einnmal stur eingesetzt habe in die HNF und auf die eine Ebene komme.
theresia |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4769
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 20:04: |
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Hi Theresia
Es folgt nun die formale Rechnung mit Hesse.
Wir bringen die beiden Ebenengleichungen je in die
Hessesche Normalform (HNF)
Eben E1:
Dividiere beide Seiten der auf null gebrachten Gleichung
mit dem Hesseschen Divisor
H1 = sqrt (2^2 + 1^2 + 2^2) = 3
es entsteht HNF 1:
(2 x – y + 2 z – 4 ) / 3 = 0
Setzt man für x,y,z die Koordinaten irgend eines
Punktes J des R3 ein, so erhält man im Wert der linken
Seite den Abstand d1 dieses Punktes J von E1;
d1 kann positiv, null oder negativ werden (je nachdem…).
Eben E2:
Dividiere beide Seiten der auf null gebrachten Gleichung
mit dem Hesseschen Divisor
H1 = sqrt (4^2 + 5^2 + 20^2) = 21
es entsteht HNF 2:
(4 x + 5 y - 20 z – 8 ) / 21 = 0
Setzt man für x,y,z die Koordinaten irgend eines
Punktes J des R3 ein, so erhält man im Wert der linken
Seite den Abstand d2 dieses Punktes J von E2;
d2 kann positiv, null oder negativ werden (je nachdem…).
Nun sei J(x/y/z) ein laufender Punkt auf einer der gesuchten
Ebenen .
1.Fall
fordere d1 = d2
Dies bedeutet
(2 x – y + 2 z – 4 ) / 3 = (4 x + 5 y - 20 z – 8 ) / 21
Das gibt, vereinfacht:
W1: 5 x – 6 y + 17 z – 10 = 0
2.Fall
fordere d1 = - d2
Dies bedeutet
(2 x – y + 2 z – 4 ) / 3 = - (4 x + 5 y - 20 z – 8 ) / 21
Das gibt, vereinfacht:
W2: 9 x – y – 3z – 18 = 0
voilà!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, |
Theresia10 (Theresia10)
Neues Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 20:33: |
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danke vielmals, den 1. Fall habe ich kapiert!
aber warum dann d1=-d2?
ich muss das ja meinem Professor erklären können, warum ich das so mache und ich weiß es einfach nicht, warum das so ist!
bitte kannst du mir noch einmal helfen?
theresia |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4770
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 21:51: |
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Hi Theresa
Eine leidige Vorzeichengeschuchte!
Wie alles, hat auch eine gegebene Ebene, z.B.
die Ebene E1 : 2x – y + 2z_- 4 = 0
ihre zwei Seiten.
Wir entnehmen der vorliegenden Gleichung den durch
die Koeffizienten von x,y,z gebildeten Vektor n = {2;-1;2]}
von dem wir wissen, dass er zur Ebene E1 senkrecht steht.
Wir haben es mit einem ganz bestimmten Normalenvektor
der Ebene zu tun.
Gedankenkrücke:
Wir lassen den Vektor n an einem Punkt der Ebene
„angreifen“.
Dann weist der Pfeil des Vektors n in denjenigen Halbraum
des R3, in welchem gerade diejenigen Punkte des R3 liegen,
für welche der nach der Formel (2x – y + 2z - 4) / 3 berechnete
Abstand d positiv ist; die im andern Halbraum liegenden
Punkte liefern einen negativen Abstand.
Wir malen diejenige Seite der Ebene, die an den positiven
Halbraum grenzt, rot an, die andere bleu.
Das sind die beiden Seiten der Ebene, induziert durch den
Richtungssinn des Vektors n.
In unserem Fall erhalten wir nach Hesse für den Nullpunkt
den Abstand - 4/3: von O aus sieht man die blaue Seite der
Ebene (die Farben: das ist einfach eine façon de parler)
Der Punkt M(0/-7/0 hingegen hat nach Hesse den Abstand
+1; man sieht von ihm aus rot(!).
Jedenfalls liegen O und M nicht im gleichen Halbraum
bezüglich der Raumteilung der Ebene E1 in zwei Halbräume.
Diese Punkte haben das Heu nicht auf derselben Bühne!
Damit kann Diene Frage leicht beantwortet werden.
Mache eine Skizze,
Das Zeichenblatt soll senkrecht zur Schnittgeraden s
der Ebenen E1 und E2 stehen.
Das Ganze sieht aus wie eine planimetrische Aufgabe.
Die Ebenen E1,E2,W1,W2 zeigen sich als vier Geraden
e1,e2,w1,w2, die sich in einem einzigen Punkt S,
dem Bild von s, schneiden,
w1 und w2 sind die Winkelhalbierenden der Geraden
e1 und e2 und stehen aufeinander senkrecht,
wie es sich gehört.
Skizziere auch die Ebenenormalen n1, n2
(feste Pfeile, je senkrecht zu e1, bzw. zu e2,sonst beliebig)
Markiere die Halbräume beider Ebenen
durch die Symbole plus(rot) und minus(blau).
Von JEDEM Punkt der einen Ebene W siehst Du
sowohl bei E1 als auch bezüglich E2
dieselbe Farbe; das ist der Fall d1 = d2.
Von JEDEM Punkt der andern Ebene W siehst Du
bei E1 und bei E2 je verschiedene Farben;
das ist der Fall d1 = - d2.
Ich glaube, das Nötigste gesagt zu haben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4771
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2005 - 22:26: |
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Hi Theresia
Wir haben soeben bei der planimetrischen Skizze bemerkt,
dass die Geraden w1 und w2 aufeinander senkrecht stehen.
Dasselbe tun natürlich auch die beiden Ebenen W1 und W2.
Wir bestätigen das, indem wir nachweisen, dass die
Normalenvektoren n1 = {5; -6; 17} und n2 = {9; -1; 3}
orthogonal sind.
In der Tat :
das Skalarprodukt dieser Vektoren ist null.
Bravo!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Theresia10 (Theresia10)
Junior Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 06:05: |
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vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung, ich hoffe, ich kann es dann auch so gut!
viele Grüße
Theresia |
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